培优点二 函数零点
1．零点的判断与证明
例1：已知定义在?1,???上的函数f?x??x?lnx?2， 求证：f?x?存在唯一的零点，且零点属于?3,4?． 【答案】见解析 【解析】f??x??1?1x?1，Qx??1,???，?f??x??0，?f?x?在?1,+??单调递增， ?xxQf?3??1?ln3?0，f?4??2?ln2?0，?f?3?f?4??0，??x0??3,4?，使得f?x0??0
因为f?x?单调，所以f?x?的零点唯一．
2．零点的个数问题
例2：已知函数f?x?满足f?x??f?3x?，当x??1,3?，f?x??lnx，若在区间?1,9?内， 函数g?x??f?x??ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是（ ） ?ln31?A．?,?
?3e??ln31?B．?,? ?93e??ln31?C．?,? ?92e??ln3ln3?D．?,? ?93?【答案】B
?x?【解析】Qf?x??f?3x??f?x??f??，当x??3,9?时，f?x??f?3??lnx1?x?3?所以f?x???x，而g?x??f?x??ax有三个不同零点?ln3?x?9??3x?x????ln，
3?3?y?f?x?与y?ax有三
个不同交点，如图所示，可得直线y?ax应在图中两条虚线之间，所以可解得：
ln31?a? 93e
3．零点的性质
2??x?2例3：已知定义在R上的函数f?x?满足：f?x???2??2?xx??0,1?x???1,0?，且f?x?2??f?x?，
g?x??2x?5，则方程f?x??g?x?在区间??5,1?上的所有实根之和为（ ） x?2A．?5 【答案】C
B．?6 C．?7 D．?8
【解析】先做图观察实根的特点，在??1,1?中，通过作图可发现f?x?在??1,1?关于?0,2?中心对称，
由f?x?2??f?x?可得f?x?是周期为2的周期函数，则在下一个周期??3,?1?中，f?x?关于??2,2?中心对称，以此类推。
从而做出f?x?的图像（此处要注意区间端点值在何处取到），再看g?x?图像，g?x??2x?511，可视为将y?的图像向左平移2个单位后再向上平移2个单位， ?2?x?2x?2x所以对称中心移至??2,2?，刚好与f?x?对称中心重合，如图所示：可得共有3个交点
x1?x2?x3，
其中x2??3，x1与x3关于??2,2?中心对称，所以有x1?x3??4。所以x1?x2?x3??7．故选C．
4．复合函数的零点
例4：已知函数f?x??x2?4x?3，若方程??f?x????bf?x??c?0恰有七个不相同的实根，则实数b的取值范围是（ ）
2A．??2,0? 【答案】B
B．??2,?1? C．?0,1? D．?0,2?
【解析】考虑通过图像变换作出f?x?的图像（如图），因为??f?x????bf?x??c?0最多只能解出2个f?x?，若要出七个根，则f1?x??1，f2?x???0,1?，所以?b?f1?x??f2?x???1,2?，解得：b???2,?1?．
2
对点增分集训
一、选择题
1．设f?x??lnx?x?2，则函数f?x?的零点所在的区间为（ ） A．?0,1? 【答案】B
【解析】∵f?1??ln1?1?2??1?0，f?2??ln2?0，∴f?1??f?2??0， ∵函数f?x??lnx?x?2的图象是连续的，且为增函数， ∴f?x?的零点所在的区间是?1,2?．故选B．
2．已知a是函数f?x??2x?log1x的零点，若0?x0?a，则f?x0?的值满足（ ）
2B．?1,2? C．?2,3? D．?3,4?
A．f?x0??0 C．f?x0??0 【答案】C
B．f?x0??0
D．f?x0?的符号不确定
【解析】f?x?在(0,??)上是增函数，若0?x0?a，则f?x0??f?a??0． 3．函数f(x)?2x?2?a的一个零点在区间?1,2?内，则实数a的取值范围是（ ） xA．?1,3? 【答案】C
B．?1,2? C．?0,3? D．?0,2?
【解析】因为f?x?在(0,??)上是增函数，则由题意得f?1??f?2??(0?a)(3?a)?0，解得
0?a?3，
故选C．
4．若a?b?c，则函数f?x??(x?a)(x?b)?(x?b)(x?c)?(x?c)(x?a)的两个零点分别位于区间（ ） A．(a,b)和(b,c)内
B．(??,a)和(a,b)内 D．(??,a)和(c,??)内
C．(b,c)和(c,??)内 【答案】A
【解析】∵a?b?c，∴f?a??(a?b)(a?c)?0，f?b??(b?c)(b?a)?0，f?c??(c?a)(c?b)?0，
由函数零点存在性定理可知，在区间(a,b)，(b,c)内分别存在零点，又函数f?x?是二次函数，
最多有两个零点．因此函数f?x?的两个零点分别位于区间(a,b)，(b,c)内，故选A． 5．设函数f?x?是定义在R上的奇函数，当x?0时，f?x??ex?x?3，则f?x?的零点个数为（ ） A．1 【答案】C
【解析】因为函数f?x?是定义域为R的奇函数，所以f?0??0，即0是函数f?x?的一个零点，当x?0时，令f?x??ex?x?3?0，则ex??x?3，分别画出函数y1?ex和y2??x?3的图象，
如图所示，两函数图象有一个交点，所以函数f?x?有一个零点，
B．2
C．3
D．4
根据对称性知，当x?0时函数f?x?也有一个零点． 综上所述，f?x?的零点个数为3．故选C．
?x2?x?26．函数f?x?????1?lnxx?0的零点个数为（ ） x?0A．3 【答案】B
B．2 C．7 D．0
?x?0?x?0【解析】方法一：由f?x??0得?2或?2，解得x??2或x?e，
x?x?2?0x?x?2?0??因此函数f?x?共有2个零点．
方法二：函数f?x?的图象如图所示，由图象知函数f?x?共有2个零点．
?1?7．已知函数f?x???1??xx?0x?0，则使方程x?f?x??m有解的实数m的取值范围是（ ）
B．(??,?2] D．(??,1]U[2,??)
A．?1,2?
C．(??,1)U(2,??) 【答案】D
【解析】当x?0时，x?f?x??m，即x?1?m，解得m?1；当x?0时，x?f?x??m，即
x?1?m， x解得m?2，即实数m的取值范围是(??,1]U[2,??)．故选D．
8．若函数f?x??3ax?1?2a在区间(?1,1)内存在一个零点，则a的取值范围是（ ）
?1?A．?,???
?5??1?C．??1,?
?5?【答案】B
?1?B．???,?1?U?,???
?5?D．(??,?1)
【解析】当a?0时，f?x??1与x轴无交点，不合题意，所以a?0；函数f?x??3ax?1?2a在区间(?1,1)内是单调函数，所以f(?1)?f?1??0，即(5a?1)(a?1)?0，解得a??1或
1a?．故选B．
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