人教版数学九年级上册期末精选试卷中考真题汇编[解析版]
一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难） 1．问题提出：
（1）如图1，在四边形ABCD中，已知：AD∥BC，?D?90?，BC?4，ABC的
面积为8，求BC边上的高． 问题探究
（2）如图2在（1）的条件下，点E是CD边上一点，且CE?2，?EAB??CBA，连接BE，求△ABE的面积 问题解决
（3）如图3，在（1）的条件下，点E是CD边上任意一点，连接AE、BE，若
?EAB??CBA，△ABE的面积是否存在最小值；若存在，求出最小值；若不存在；请
说明理由．
【答案】（1）4；（2）【解析】 【分析】
20；（3）存在，最小值为162?16 3（1）作BC边上的高AM，利用三角形面积公式即可求解；
（2）延长DA，过B点作BF⊥DA于点F，作BH⊥AE于点H，易得四边形BCDF为矩形，在（1）的条件下BC=CD=4，则BCDF为正方形，由?EAB??CBA，结合∠FAB=∠CBA可得∠FAB=∠EAB，从而推出BF=BH=4，易证Rt△BCE≌Rt△BHE，所以EH=CE=2，设AD＝a，则AF=AH=4-a，在Rt△ADE中利用勾股定理建立方程可求出a，最后根据S△ABE=
1AEBH即可求解； 21AEBH得到m与y的关系式，再求y的最小值即可． 2（3）辅助线同（2），设AD=a，CE=m，则DE=4-m，同（2）可得出m与a的关系式，设△ABE的面积为y，由y=【详解】
（1）如图所示，作BC边上的高AM，
∵S△ABC=∴AM=1BCAM=8 28?2=4 4即BC边上的高为4；
（2）如图所示，延长DA，过B点作BF⊥DA于点F，作BH⊥AE于点H，
∵AD∥BC，?D?90? ∴∠BCD=∠D=90°=∠F ∴四边形BCDF为矩形， 又∵BC=CD=4
∴四边形BCDF为正方形， ∴DF=BF=BC=4， 又∵AD∥BC ∴∠FAB=∠CBA 又∵∠EAB=∠CBA ∴∠FAB=∠EAB ∵BF⊥AF，BH⊥AE ∴BH=BF=4，
在Rt△BCE和Rt△BHE中， ∵BE=BE，BH=BC=4 ∴Rt△BCE≌Rt△BHE（HL） ∴EH=CE=2
同理可证Rt△BAF≌Rt△BAH（HL） ∴AF=AH
设AD=a，则AF=AH=4-a
在Rt△ADE中，AD=a，DE=2，AE=AH+EH=4-a+2=6-a
由勾股定理得AD2+DE2=AE2，即a2?22??6?a?
28解得a=
3∴AE=6-a=S△ABE=
10 3111020AEBH=??4= 2233（3）存在，
如图所示，延长DA，过B点作BF⊥DA于点F，作BH⊥AE于点H，
同（2）可得CE=EH，AF=AH，
设AD=a，CE=EH=m，则DE=4-m，AF=AH=4-a
在Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，即a2??4?m???4?a?m? 整理得a=228m m?48mm2?16∴AE=AH+HE=4??m?
m?4m?4设△ABE的面积为y，
22?m2?16?11m?16则y=AEBH= 4?22m?4m?4∴y?m?4??2m?16
2??整理得：2m?ym?32?4y?0 ∵方程必有实数根
∴?=y?4?2??32?4y??0
22整理得y?32y?256?0
∴?y??162?16??y?162?16??0（注：利用求根公式进行因式分解）
2????????又∵面积y≥0 ∴y?162?16
即△ABE的面积最小值为162?16．
【点睛】
本题考查四边形综合问题，正确作出辅助线，得出AB平分∠FAC，利用角平分线的性质定理得到BF=BH，结合勾股定理求出AE是解决（2）题的关键，（3）题中利用一元二次方程的判别式求最值是解题的关键．
2．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根（OA＞OB）． （1）求点D的坐标． （2）求直线BC的解析式．
（3）在直线BC上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）D（4，7）（2）y=【解析】
39x?（3）详见解析 44试题分析：（1）解一元二次方程求出OA、OB的长度，过点D作DE⊥y于点E，根据正方形的性质可得AD=AB，∠DAB=90°，然后求出∠ABO=∠DAE，然后利用“角角边”证明△DAE和△ABO全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=OA，AE=OB，再求出OE，然后写出点D的坐标即可；
（2）过点C作CM⊥x轴于点M，同理求出点C的坐标，设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b为常数），然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（3）根据正方形的性质，点P与点B重合时，△PCD为等腰三角形；点P为点B关于点C的对称点时，△PCD为等腰三角形，然后求解即可． 试题解析：（1）x2﹣7x+12=0， 解得x1=3，x2=4， ∵OA＞OB， ∴OA=4，OB=3， 过D作DE⊥y于点E， ∵正方形ABCD， ∴AD=AB，∠DAB=90°， ∠DAE+∠OAB=90°， ∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠ABO=∠DAE， ∵DE⊥AE，
∴∠AED=90°=∠AOB， ∵DE⊥AE
∴∠AED=90°=∠AOB， ∴△DAE≌△ABO（AAS）， ∴DE=OA=4，AE=OB=3， ∴OE=7， ∴D（4，7）；
（2）过点C作CM⊥x轴于点M， 同上可证得△BCM≌△ABO， ∴CM=OB=3，BM=OA=4， ∴OM=7， ∴C（7，3），
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b为常数）， 代入B（3，0），C（7，3）得，
，
解得，
∴y=x﹣
；
（3）存在．
点P与点B重合时，P1（3，0）， 点P与点B关于点C对称时，P2（11，6）．
考点：1、解一元二次方程；2、正方形的性质；3、全等三角形的判定与性质；4、一次函数
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