振动控制方程建立
1.1 控制系统简介
常见用来控制操纵微机电系统器件平台微振动的超磁致伸缩作动器示意图如图3-1所示，采用强制水冷法控温设备来降低作动器温度，施加偏置磁场控制作动器倍频现象，预先施加预应力防止材料脆断。在作动器设计中，一般采用的弹簧施加预应力，但振动过程中超磁致伸缩材料变化引起弹簧施加预应力变化，因此设计中采用碟簧施加预应力，保持预应力在振动过程中保持不变[12]。
1底座 2冷却水出口 3偏致磁铁（产生偏场） 4激励线圈
5扼铁 6导杆 7前端盖子 8预压螺帽 9预压碟簧 10冷却水入口 11GMM棒 12套管 13阀门 14套筒
图3-1：超磁致伸缩致动器结构示意图[12,72]
以超磁致伸缩作动器组成的动力控制系统如图3-2所示。对于微机电系统的高精度平台，即使人员的走动也会引起扰动，因此在以超磁致伸缩作动器为核心的控制系统中由作动器隔离地面振动向平台的传播。平台以及地基均有传感器，他们用来测量干扰信号和平台的振动幅值，测量到的物理扰动信号与振动信号由前馈传感器与反馈传感器转化为电信号，并经过放大器信号放大与滤波器滤波后，由模拟-数字信号转换器转换为数字信号。之后，数字信号输入计算机控制系统，应用相应控制算法处理信号，处理后继续输出数字信号，数字信号再由数字-模拟转换器换为模拟信号，模拟信号由放大器放大及滤波器滤波后以电信号的形式输入超磁致伸缩作动器，作动器输出此电信号下的响应位移或控制力。此时形成一个完整的闭合回路，一旦受到外界干扰，控制系统立马检测到干扰并且施加控制，保持平台在一个相对静止的控制状态。
图3-2：超磁致伸缩作动器形成的动力控制系统[3]
1.2 控制方程推导
在隔振系统中，以超磁致伸缩制动器为主体的隔振器是与隔振平台相连的，因此作动器中磁致伸缩棒的自由端振动是与平台振动一样的，为抑制平台的振动，同抑制磁致伸缩棒自由端的振动是相通的，因此振动控制中只需对超磁致伸缩棒材作振动控制建模。
方程推导中，我们采用上一章介绍的本构关系式2.1及2.2，在此我们将2.1式简化为：
?????(?,H) 1.1 E(?)此时我们基于2点假设：
1.磁致伸缩制动器使用碟簧构造，在一定位移范围内碟簧输出应力不变，则由碟簧施加的预应力?不变。杨氏模量由关系式1.2确定，由于预应力不变，则杨氏模量E(?)不变。
????tanh() ?0?s?????ss??? 1.2
2??E(?)Es??stanh() ?0??s?s?22.磁致伸缩?(?,H)由计算机自主控制，控制磁场并不连续施加，控制过程
中控制磁场的跃变引起杨氏模量的变化可以忽略不计。
上述假设均符合实际事实情况，基于以上的假设我们推导振动控制方程。 将1.1式代入杆件拉伸压缩方程1.3式得1.4式
?2u?u????f 1.3 ?2???t?t?x?2u?u?2u?[E?]?E(?)2???f 1.4 ?2???t?t?x?x其中边界条件为1.5式
u(0,t)?0,?(l,t)??0 1.5 微分方程求解使用加权残值法，位移表达为1.6式。
u??Niui?[N1,N2,......,Nn][u1,u2,......,un]T 1.6
i?1n形函数有1.7及1.8式。
?x?xi?1,xi?1?x?xi1?Ni(x)??xi?1?x,xi?x?xi?1i?1,2,......n?1 1.7
h?,x?[0,l],x?[xi?1,xi?1]?01?x?xn?1Nn(x)??h?0则有残值1.9式
n,xn?1?x?xn 1.8
,x?[0,l],x?[xn?1,xn]n?2ui?uin?2Ni?[E?]R???Ni2???Ni??E(?)u??f 1.9 i2?t?ti?1?x?xi?1i?1积分残值1.9式有1.10式
?l0??i(t)????NiNjdxu?i(t)RNjdx????NiNjdxui?1n0i?10l?[E?]l?2Ni?????E(?)2Njdxui(t)??Njdx??fNjdx?01.10
000?x?xi?1j?1,2,.........nlnlnl化简1.10式有控制方程1.11式
??(t)?Cu?(t)?Ku(t)?Q?(t)?Ff(t) 1.11 Mu其中 C为Rayleigh阻尼
Mij???NiNjdx0lKij??E(?)0l?Ni?Njdx?x?x
Qj??E(?)0l?Nj?xi?1,2,......n;j?1,2,......ndxFj??Njdx0l?T}T，则方程式应用主动控制算法前馈反馈极点配置，引入状态向量z?{uTu1.11表达为状态方程下的形式1.12式。
?(t)?Az(t)?B?(t)?Df(t) 1.12 z其中 A???0??1???K??M???I??,?1???M??C????0????0?? B??,D??1?1?????M??Q????M??F??将计算机自主决定的?(?,H)引入前馈与反馈极点配置，有式1.13
??G0f?Gz 1.13
其中G0为前馈1*1维增益，G为反馈20*1维增益，又G??G1G2?，G1可称为状态位移反馈，G2可称为状态速度反馈。
将1.13式代入1.12式，得1.14式即为控制形式下的振动反应方程。
?(t)?(A?BG)z(t)?(D?BG0)f(t) 1.14 z
振动控制方程建立
