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中考二次函数压轴题———解题通法研究
二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题,同时在省级，国家级数学竞赛中也有二次函数大题，在宜宾市的拔尖人才考试中同样有二次函数大题,在成都,绵阳，泸县二中等地的外地招生考试中也有二次函数大题,很多学生在有限的时间内都不能很好完成。由于在高中和大学中很多数学知识都与函数知识或函数的思想有关，学生在初中阶段函数知识和函数思维方法学得好否，直接关系到未来数学的学习。所以二次函数综合题自然就成了相关出题老师和专家的必选内容。我通过近６年的研究,思考和演算了上100０道二次函数大题,总结出了解决二次函数压轴题的通法，供大家参考。
几个自定义概念:
① 三角形基本模型:有一边在X轴或Y上,或有一边平行于X轴或Y轴的三角形称为三角形基本模型。
② 动点(或不确定点）坐标“一母示\借助于动点或不确定点所在函数图象的解析式,用一个字母把该点坐标表示出来,简称“设横表纵”。如:动点Ｐ在ｙ=2x+１上, 就可设 Ｐ(ｔ， ２t+1)。若动点P在y=3x?2x?1,则可设为P（t，3t22?2t?1)当然若动点M 在
X轴上,则设为（ｔ, ０)。若动点M在Y轴上,设为（０，ｔ).
③ 动三角形：至少有一边的长度是不确定的,是运动变化的．或至少有一个顶点是运动，变化的三角形称为动三角形.
④ 动线段:其长度是运动，变化，不确定的线段称为动线段。
⑤ 定三角形:三边的长度固定,或三个顶点固定的三角形称为定三角形。
⑥ 定直线：其函数关系式是确定的,不含参数的直线称为定直线。如：y＝3x－６。 ⑦ Ｘ标，Ｙ标:为了记忆和阐述某些问题的方便，我们把横坐标称为x标,纵坐标称为y标。
⑧ 直接动点:相关平面图形（如三角形，四边形，梯形等)上的动点称为直接动点，与之共线的问题中的点叫间接动点。动点坐标“一母示”是针对直接动点坐标而言的。
１。求证“两线段相等”的问题:
借助于函数解析式，先把动点坐标用一个字母表示出来；
然后看两线段的长度是什么距离(即是“点点”距离，还是“点轴距离”，还是“点线距离”,再运用两点之间的距离公式或点到x轴(y轴)的距离公式或点到直线的距离公式,分别把两条线段的长度表示出来,分别把它们进行化简，即可证得两线段相等.
2、“平行于y轴的动线段长度的最大值”的问题:
由于平行于y轴的线段上各个点的横坐标相等(常设为t)，借助于两个端点所在的函数图象解析式,把两个端点的纵坐标分别用含有字母t的代数式表示出来，再由两个端点的高低
情况，运用平行于y轴的线段长度计算公式
y上-y下,把动线段的长度就表示成为一个自
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变量为ｔ,且开口向下的二次函数解析式,利用二次函数的性质,即可求得动线段长度的最大值及端点坐标。
3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题: 先用点斜式(或称K点法)求出过已知点,且与已知直线垂直的直线解析式,再求出两直线的交点坐标，最后用中点坐标公式即可．
４、“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离最大”的问题:
(方法1）先求出定直线的斜率,由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线的解析式（注意该直线与定直线的斜率相等,因为平行直线斜率(k)相等）,再由该直线与抛物线的解析式组成方程组，用代入法把字母y消掉，得到一个关于x的的一元二次方程,
由题有△=b-4ac＝0(因为该直线与抛物线相切，只有一个交点，所以b—4ａc=0）从而就可求出该切线的解析式，再把该切线解析式与抛物线的解析式组成方程组，求出x、y的值，即为切点坐标,然后再利用点到直线的距离公式，计算该切点到定直线的距离，即为最大距离。
(方法2)该问题等价于相应动三角形的面积最大问题,从而可先求出该三角形取得最大面积时，动点的坐标，再用点到直线的距离公式，求出其最大距离.
（方法3）先把抛物线的方程对自变量求导，运用导数的几何意义，当该导数等于定直线的斜率时，求出的点的坐标即为符合题意的点,其最大距离运用点到直线的距离公式可以轻松求出.
５.常数问题:
（1）点到直线的距离中的常数问题:
“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离等于一个 固定常数”的问题:
先借助于抛物线的解析式,把动点坐标用一个字母表示出来,再利用点到直线的距离公式建立一个方程，解此方程,即可求出动点的横坐标,进而利用抛物线解析式,求出动点的纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了．
（2）三角形面积中的常数问题:
“抛物线上是否存在一点,使之与定线段构成的动三角形的面积等于一个定常数\的问题：
先求出定线段的长度,再表示出动点（其坐标需用一个字母表示）到定直线的距离,再运用三角形的面积公式建立方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,再利用抛物线的解析式,可求出动点纵坐标，从而抛物线上的动点坐标就求出来了。
(3）几条线段的齐次幂的商为常数的问题：
用Ｋ点法设出直线方程,求出与抛物线(或其它直线）的交点坐标，再运用两点间的距离公式和根与系数的关系,把问题中的所有线段表示出来，并化解即可。
6.“在定直线（常为抛物线的对称轴，或ｘ轴或y轴或其它的定直线）上是否存在一点，使之到两定点的距离之和最小”的问题:
先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标,再把该对称点和另一个定点连结得到一条线段，该线段的长度〈应用两点间的距离公式计算〉即为符合题中要求的最
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小距离，而该线段与定直线的交点就是符合距离之和最小的点,其坐标很易求出(利用求交点坐标的方法）。
7。三角形周长的“最值（最大值或最小值)”问题:
① “在定直线上是否存在一点,使之和两个定点构成的三角形周长最小”的问题（简称“一边固定两边动的问题):
由于有两个定点，所以该三角形有一定边(其长度可利用两点间距离公式计算)，只需另两边的和最小即可。
② “在抛物线上是否存在一点,使之到定直线的垂线,与y轴的平行线和定直线，这三线构成的动直角三角形的周长最大\的问题（简称“三边均动的问题）：
?在图中寻找一个和动直角三角形相似的定直角三角形，在动点坐标一母示后,运用
C动斜边动,把动三角形的周长转化为一个开口向下的抛物线来破解。 =C定斜边定
8。三角形面积的最大值问题:
① “抛物线上是否存在一点，使之和一条定线段构成的三角形面积最大”的问题(简称“一边固定两边动的问题”）：
（方法1）先利用两点间的距离公式求出定线段的长度；然后再利用上面３的方法，
求出抛物线上的动点到该定直线的最大距离。最后利用三角形的面积公式
1 底·高。2即可求出该三角形面积的最大值，同时在求解过程中，切点即为符合题意要求的点．
(方法2)过动点向y轴作平行线找到与定线段（或所在直线）的交点,从而把动三角形分割成两个基本模型的三角形，动点坐标一母示后,进一步可得到
题来求出最大值.
② “三边均动的动三角形面积最大\的问题（简称“三边均动”的问题):
先把动三角形分割成两个基本模型的三角形(有一边在ｘ轴或y轴上的三角形,或者有一边平行于x轴或y轴的三角形,称为基本模型的三角形）面积之差,设出动点在x轴或y轴上的点的坐标,而此类题型,题中一定含有一组平行线，从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似(常为图中最大的那一个三角形)。利用相似三角形的性质（对应边的比等于对应高的比）可表示出分割后的一个三角形的高。从而可以表示出动三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式,相应问题也就轻松解决了。
９。“一抛物线上是否存在一点,使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”： 由于该四边形有三个定点,从而可把动四边形分割成一个动三角形与一个定三角形(连结两个定点，即可得到一个定三角形)的面积之和，所以只需动三角形的面积最大，就会使动四边形的面积最大,而动三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与7相同。
1０、“定四边形面积的求解”问题: 有两种常见解决的方案:
方案（一)：连接一条对角线,分成两个三角形面积之和;
方案(二)：过不在ｘ轴或ｙ轴上的四边形的一个顶点，向x轴（或ｙ轴)作垂线,或者把该点与原点连结起来，分割成一个梯形（常为直角梯形）和一些三角形的面积之和(或差)，或几个基本模型的三角形面积的和（差)
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1S动三角形?(y上（动）-y下（动）)?（x右（定）-x左（定））2,转化为一个开口向下的二次函数问
中考二次函数压轴题解题通法.
