课题：直线与圆锥曲线的位置关系（二）
【考纲解读】
能正确熟练地解决关于直线与圆锥曲线关系的问题.具体地有：
1、能够把研究直线与圆锥曲线位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题；
2、会利用直线与圆锥曲线方程所组成的方程组消去一个变量，将交点问题（包括公共点个数、与交点坐标有关的问题）转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数关系及判别式解决问题；
3、能够运用数形结合，迅速判断某些直线和圆锥曲线的位置关系． 【教学目标】
1、会研究直线与圆锥曲线的交点问题；
2、进一步熟悉把三角形、四边形、比例线段等问题转化为直线与圆锥曲线关系的问题； 3、能把有关对称问题转化为直线与圆锥曲线关系的问题； 4、会研究有关定值和最值问题. 【例题讲解】 例题一 选择题：
x2y2??1上有一点P，F1、F2是椭圆的左右焦点，?F1PF2为直角三角形，则这1、在椭圆
4020样的点P有 ( C ) （A）2 （B）4 （C）6 （D）8
x2y22、已知P为双曲线2?2?1的渐近线上的任意一点，过P作直线l与双曲线有且只有一个
ab公共点，则直线l的条数为 ( D ) （A）1 （B）2 （C）3 （D）以上都不对
123、若抛物线y?2x上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y?x?m对称，且x1x2??，则
2m? ( D )
53（A）3 （B） （C）2 （D）
224、若直线y?k(x?2)?2与抛物线y?2x有且只有一个公共点，则不同k值的个数为 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （ B ）
2x2y25、已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)与直线y?2x有交点，则双曲线离心率的取值范围是
ab（A）(1,5) （B）(1,5)?(5,??) （C）(5,??) （D）[5,??) （ C ）
x2y2??1的左右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点，6、设F1、F2为椭圆43当四边形PF1QF2面积最大时，PF1?PF2的值等于 （ C ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）4
例题二 填空题：
x2y2??1上在第三象限内的点，若它与两焦点的连线互相垂直，则P到右准线1、P是椭圆
4520的距离是 12 .
x2y22、过双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两
ab点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于 2 .
3、过抛物线y?4x的焦点作直线交抛物线于P(x1,y1)、Q(x2,y2)，若x1?x2?6，则PQ中点M到抛物线准线的距离为 4 .
224、过点P(?3,0)作直线l与椭圆3x?4y?12相交于A、B两点，则?AOBO为坐标原点，
2的面积的最大值为3.
例题三
已知抛物线C：y?4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点，设
2FB??AF，若??[4,9]，求直线l在y轴上的截距的变化范围.
解：设A(x1,y1),B(x2,y2)，又点F(1,0)，则由题设FB??AF得(x2?1,y2)??(1?x1,?y1)，
22则x2?1??(1?x1),y2???y1.则y2??y1，又因y1?4x1,y2?4x2，所以x2??x1，
2222则可解得x2??，所以点B(?,2?)或B(?,?2?)，直线l的方程为(??1)y?2?(x?1)或
(??1)y??2?(x?1)，当??[4,9]时，l在y轴上的截距为
2?2?或?，由??1??132?42?2?22??，，可知在[4,9]上是递减的.所以??4??13??1??1??1??1?42?34334????，直线l在y轴上的截距的变化范围为[?,?]?[,]. 3??143443例题四
??已知x、y?R,i、j为直角坐标平面内x、y轴正方向上的单位向量，若向量????????a?xi?(y?2)j,b?xi?(y?2)j，且|a|?|b|?8.
(1)求点M(x，y)的轨迹C的方程；
(2)过点(0，3)作直线l与曲线C交于A、B两点，OP=OA+OB，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB是矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由. 解：(1)由题设得x??y?2??22x2??y?2??8.
2x2y2??1. 由椭圆定义知，轨迹方程为
1216 (2)∵直线l过点(0，3)，若直线l的斜率不存在，则A、B为椭圆的顶点. ∵OP?OA?OB?0，∴O、P重合与OAPB是矩形矛盾.
x2y222
??1， ∴直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+3，代入得(4+3k)x+18kx-21=0，1216则有Δ=(18k)-4(4+3k)(-21)＞0，且x1+x2=-2
2
18k21，x(*) 1x2=-224?3k4?3k ∵OP?OA?OB，∴四边形OAPB是平行四边形，
假设存在直线l使得四边形OAPB是矩形，则有OA?OB， 即有OA·OB=x1x2+y1y2=0?(1+k)x1x2+3k(x1+x2)+9=0.
2
将(*)代入，解得k=±
5均适合Δ≥0. 4 ∴存在直线l：y=±例题五
5x+3，使得四边形OAPB是矩形. 421. 已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为B(0，-1)，且其右焦点到直线x-y+22=0的距离为3.
(1)求椭圆方程；
(2)是否存在斜率为k(k≠0)且过定点Q(0，
3)的直线l，使l与椭圆交于两个不同的点M、N，2且|BM|=|BN|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
x2y2解：(1)设椭圆方程为2?2?1(a＞b＞0)， 则b=1.
ab 令右焦点F(c，0)(c＞0)， 则由条件得3?|c?0?22|，得c?2.
2
x2?y2?1. 那么a=b+c=3，∴椭圆方程为32
2
2
(2)假设存在直线l：y=kx+
3(k≠0)， 2x2+y2=1联立，消去y得 与椭圆315?0. 4155222
由Δ=(9k)-4(1+3k)·＞0，得k＞.
412 1?3kx?9kx??2?2 设M(x1，y1)，N(x2，y2)的中点P(x0，y0)，
由|BM|=|BN|，则有BP⊥MN. 由韦达定理代入kBP=
122
，可求得k=. k3 满足条件k＞例题六
2
635x?. ，所以所求直线存在，直线方程为y??3212x2y2如图，设离心率为e的双曲线2?2?1的右焦点为F，斜率为k的直线过点F且与双曲线以
ab及y轴的交点依次为P、Q、R. (1)试比较e与1+k的大小；
(2)若P为FQ的中点，且ek=2，求e的值.
2
2
x2y2解：(1)过右焦点且斜率为k的直线为y=k(x-c)，把y=k(x-c)代入双曲线方程2?2?1，得
ab(b-ak)x+2cakx-(ack+ab)=0.
∵直线与双曲线有两个交点P、R，
2
22
2
22
222
22
a2c2k2?a2b2222
由x1x2=-＜0，得b-ak＞0，
b2-a2k2 即c-a-ak＞0. ∴(
2
2
22
c2222
)-1-k＞0.∴e＞1+k. a
(2)令y=k(x-c)中的x=0， 得yQ=-kc，由P是FQ的中点， ∴P(
c?kc，). 22c2k2c2?1， 把P的坐标代入双曲线方程，得2?24a4b 即c(c-a)-akc=4a(c-a). 又ek=2，即k=
4
2
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2
2
2
222
2
2
2
4. 2e 解得e-5e=0，e=5.
课题直线与圆锥曲线的位置关系(二)
