极点与极线背景下的高考
试题
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极点与极线背景下的高考试题
王文彬
(江西省抚州市第一中学 344000)
极点与极线是高等几何中的重要概念，当然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，自然也会成为高考试题的命题背景.
作为一名中学数学教师，应当了解极点与极线的概念，掌握有关极点与极线的基本性质，只有这样，才能“识破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，进而把握命题规律.
1.从几何角度看极点与极线 A 定义1 如图1，设P是不在圆锥曲线上的一点，过P点引 两条割线依次交圆锥曲线于四点E,F,G,H，连接EH,FG E P
F 交于N，连接EG,FH交于M，则直线MN为点P对应的极线. N 若P为圆锥曲线上的点，则过P点的切线即为极线.
G 由图1同理可知， PM为点N对应的极线，PN为点M所 H B 对应的极线.因而将MNP称为自极三点形.设直线MN交圆锥曲线于点A,B两点，则PA,PB恰为圆锥曲线的两条切线.
M 定理1 (1)当P在圆锥曲线?上时，则点P的极线是曲线
图1 ?在P点处的切线；
(2)当P在?外时，过点P作?的两条切线，设其切点分别为A,B，则点P的极线是直线AB(即切点弦所在的直线)；
(3) 当P在?内时，过点P任作一割线交?于A,B，设?在A,B处的切线交于点Q，则点P的极线是动点Q的轨迹.
定理2 如图2，设点P关于圆锥曲线?的极线为l，过点P任作一割线交?于
PAPB? ①；反之，若有①成立，则称点P,Q调和分割线段AB，A,B，交l于Q，则
AQBQ或称点P与Q关于?调和共轭，或称点P(或点Q)关于圆锥曲线 P ?的调和共轭点为点Q(或点P).点P关于圆锥曲线?的调
A 和共轭点是一条直线，这条直线就是点P的极线.
Q 推论1 如图2，设点P关于圆锥曲线?的调和共轭 l 211??点为点Q，则有 ②；反之，若有②成立， PQPAPBB 则点P与Q关于?调和共轭. 图2
可以证明①与②是等价的.事实上，由①有 211???. PQPAPB特别地，我们还有
推论2 如图3，设点P关于有心圆锥曲线?(设其中心为O)的调和共轭点为点Q，PQ连线经过圆锥曲线的中心，则有OR2?OP?OQ ，反之若有此式成立，则点P与Q关于?调和共轭.
证明：设直线PQ与?的另一交点为R?，则 PRPR?OP?OROP?ORP ???，化简 RQR?QOR?OQOR?OQR 2即可得OR?OP?OQ.反之由此式可推出
Q PRPR?O ?，即点P与Q关于?调和共轭. RQR?QR?推论3 如图4，A,B圆锥曲线?的一条
R 图3
对称轴l上的两点(不在?上)，若A,B关于?调 和共轭，过B任作?的一条割线，交?于P,Q 两点，则?PAB??QAB.
P 证明：因?关于直线l对称，故在?上存在
Q?P,Q的对称点P?,Q?.若P?与Q重合，则Q?与P
l 也重合，此时P,Q关于l对称，有?PAB??QAB； A B ??若P与Q不重合，则Q与P也不重合，由于A,B Q 关于?调和共轭，故A,B为?上完全四点形PQ?QP? P?的对边交点，即Q?在PA上，故AP,AQ关于直线l R 4 图对称，也有?PAB??QAB.
定理3 (配极原则)点P关于圆锥曲线?
的极线p经过点Q?点Q关于?的极线q经过点P；直线p关于?的极点P在直线q上?直线q关于?的极点Q在直线p上.
由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线.
以上未加证明的定理，可参阅有关高等几何教材，如【1】，其中定理1的初等证法可参阅文【2】.
2.从代数角度看极点与极线
定义2 已知圆锥曲线?:Ax2?Cy2?2Dx?2Ey?F?0，则称点P(x0,y0)和直线l:Ax0x?Cy0y?D(x?x0)?E(y?y0)?F?0是圆锥曲线?的一对极点和极线.
x?x事实上，在圆锥曲线方程中，以x0x替换x2，以0替换x，以y0y替换y2 ，以
2y0?y替换y即可得到点P(x0,y0)的极线方程. 2特别地：
x2y2xxyy(1)对于椭圆2?2?1，与点P(x0,y0)对应的极线方程为02?02?1；
ababx2y2xxyy(2)对于双曲线2?2?1，与点P(x0,y0)对应的极线方程为02?02?1；
abab2(3)对于抛物线y?2px，与点P(x0,y0)对应的极线方程为y0y?p(x0?x).
x2y2(4)如果圆锥曲线是椭圆2?2?1，当P(x0,y0)为其焦点F(c,0)时，极线恰为椭圆
abx2y2的准线；如果圆锥曲线是双曲线2?2?1，当P(x0,y0)为其焦点F(c,0)时，极线恰为
ab
极点与极线背景下的高考试题
