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习 题 2
2-1 试证明图2-77(a)所示电气网络与图2 77(b)所示的机械系统具有相同的微分方程。
图2-77习题2-1图
证明：首先看题2-1图中(a)
UR?s??UR?s??UC?s?
IR?s??1?1?UR?s??CsUR?s????Cs?UR?s? R?R??1?UC?s???R??2Cs??I?s?
2????1??1??UC?s???R??Cs1??2Cs??R??UR?s??UC?s?? 2??1????????1??11??1??????????R??Cs?1Us?R??Cs??2?C1?21?UR?s? ?????C2s??R1C2s??R1????????R2C2s?1??1?R1C1s???R2C2s?1???1?R1C1s?U?s?
????1Us?R?Cs?CR1C2sR12??2-2试分别写出图2-78中各有源网络的微分方程。
图2-78 习题2-2图
解： (a)C?du?t?1?dur?t?111?ur?t???uo?t? (b)ur?t????Co?uo?t??dtRR2R1dtR2??精品
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(c)
du?t?1??ur?t????R2Cc?uc?t?? R1dt??2-3某弹簧的力一位移特性曲线如图2-79所示。在仅存在小扰动的情况下，当工作点分别为x0=-1.2，0，2.5时，试求弹簧在工作点附近的弹性系数。
解：由题中强调“仅存在小扰动”可知，这是一道非线性曲线线性化处理的问题。于是有，在x0=-1.2，0，2.5这三个点处对弹簧特性曲线做切线，切线的导数或斜率分别为：
1）
dfdx?x??1.240???40?80??35.56
0.75???1.5?2.252）
df40?0??20 dxx?02?0df35?2015???6
dxx?2.53?0.52.53）
2- 4图2-80是一个转速控制系统，其中电压u为输入量，负载转速ω为输出量。试写出该系统输入输出间的微分方程和传递函数。
解：根据系统传动机构图可列动态如下：
Ri?t??Ldi?t??Ke??ur?t? (1) dtTem?KTi (2)
Tem?TL?KTi?TL?J将方程(3)整理后得：
d? (3) dti?1Jd?TL? (4) KTKTdt将方程(4)代入方程(1)后得：
RRJd?LdTLLJd2?TL????Ke??ur?t? (5)KTKTdtKTdtKTdt2精品
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将方程(5)整理后得：
LJd2?RJd?RLdTL (6) ????K??ut?T?erLKTdt2KTdtKTKTdt2-5 系统的微分方程组如下
式中，r，K-，K2，K。，Kn，Kj，T均为常数。试建立系统r(f)对c(f)的结构图，并求系统传递函数 C(s)／R(s)。
解：首先画系统结构图，根据动态方程有：
X1(s) X2(s) τs+K1 X2(s) K2 X3(s) X4(s) K3/s X5(s) K4/(Ts+1) C(s) K5
然后，根据梅逊公式得：
K2K3K4??s?K1?K3K4??s?K1?K2C?s?s?Ts?1?sTs?1??R?s?1???s?K?KK3K4?K3?K3K4K5s?Ts?1??K2K3K4??s?K1??K3?Ts?1??K3K4K512sTs?1ss?Ts?1?s?Ts?1?s?Ts?1?s?Ts?1?s?Ts?1?C?s?K2K3K4??s?K1? ?2R?s?Ts??1?K2K3K4??K3T?s??K1K2K3K4?K3?K3K4K5? 2 6 图2-8l是一个模拟调节器的电路示意图。
精品
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① 写出输入ui，与输出uo之间的微分方程； ② 建立该调节器的结构图； ③ 求传递函数Uo(s)／Ur(s)。
解：根据电路分析需要，引入中间变量vo1(t)，vo2(t)，然后，由电路图可知：
?1?Ui?s?Uo?s???????Cs1?Uo1?s? （1） ?R1R1?R2?Uo1?s???C2sUo2?s? （2） R3Uo?s???R5Uo2?s? （3） R4采用代入法，将上述3个方程联立求解得：
Uo?s???R51R21R2R5?Ui?s??Uo?s?????Ui?s??Uo?s?? ??R4R3C2sR2C1s?1R1R1R3R4C2s?R2C1s?1?R2R5Ui?s?
R1R3R4C2s?R2C1s?1??R2R5C1sUo?s???Uo?s?R2R5R51 ????2Ui?s?R1R3R4C2R2C1s?R1R3R4C2s?R2R5C1sR1R3R4C2C1?R1R3R4C2?R2R5C1??s?s???RRRCRC134221????2-7某机械系统如图2-82所示。质量为m、半径为R的均质
圆筒与弹簧和阻尼器相连(通过轴心)，假定圆筒在倾角为α的斜面上滚动(无滑动)，求
N 出其运动方程。
-Kx1
mgsinα 解：首先，对圆辊进行受
-Bdx1/dt
力分析；根据分析结果可
mgcosα 知：
mg 精品
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dx1d2x1mgsin??Kx1?B?m2
dtdtd2x1dxm2?B1?Kx1?mgsin? dtdt2 8 图2-83是一种地震仪的原理图。地震仪的壳体固定在地基上，重锤M由弹簧K支撑。当地基上下震
动时，壳体随之震动，但是由于惯性作用，重锤的运动幅度很小，这样它与壳体之间的相对运动幅度就近似等于地震的幅度，而由指针指示出来。活塞B提供的阻尼力正比于运动的速度，以便地震停止后指针能及时停止震动。
①写出以指针位移y为输出量的微分方程； ②核对方程的量纲。
解：首先，对重锤进行受力分析；根据分析结果可知：
dyd2ymg?Ky?B?m2
dtdtd2x1dxm2?B1?Kx1?mg
dtdt2 9 试简化图2-84中各系统结构图，并求传递函数c(s)／R(s)。
图2-84习题2-9图
解：(a)，根据梅逊公式得：
前向通道传递函数Pk：P1?G1?s?G2?s?；P2?G3?s?G2?s?
回路通道传递函数Li：L1??G1?s?G2?s?H2?s?；L2??G2?s?H1?s?精品
自动控制原理第2章习题解
