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八年级数学下册特殊平行四边形-教案
平行四边形的性质和判定
一、知识梳理
1．平行四边形：
(1)平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形用符号“”表示．平行四边形ABCD记作，读作平行四边形ABCD． 2．平行四边形的性质：
(1) 平行四边形的对边平行且相等． (2)．平行四边形的对角相等，邻角互补。 (3)平行四边形的对角线互相平分． (4)若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积． 3．两条平行线间的距离： (1)定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离． (2)两平行线间的距离处处相等． 4．平行四边形的面积： (1)如图①，． (2)同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等． 如图②，有公共边BC，则． 5．平行四边形的判别方法： (1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形． (3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． (4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形． (5)对角线互相平分的四边形是平行四边形． 6．平行四边形知识的运用： (1)直接运用平行四边形特征解决某些问题，如求角的度数，线段的长度，证明角相等或互补，证明线段相等或倍分等． (2)识别一个四边形为平行四边形，从而得到两直线平行． (3)先识别—个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的特征去解决某些问题．
（二）平行四边形的判定 ★1.两组对边分别平行的四边形为平行四边形 如图，平行四边形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，连结AN、DN、BM、CM，且AN、BM交于点P，CM、DN交于点Q.四边形MGNP是平行四边形吗？为什么？ ★2.两组对边分别相等的四边形为平行四边形
如图，在ABCD的各边AB、BC、CD、DA上，分别取点K、L、M、N，使AK=CM、BL=DN，则四边形KLMN为平行四边形吗？说明理由. ★3.一组对边平行且相对的四边形为平行四边形
11如图，□ABCD中，E、F分别在BA、DC的延长线上，且AE=AB，CF=CD，试证明AECF
22为平行四边形.
★4.两组对角分别相等的四边形为平行四边形
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(2008湖北恩施)如图，在平行四边形ABCD中,∠ABC的平分线交CD于点E,∠ADC的平分线交AB于点F.试证明四边形DFBE为平行四边形. ★5.对角线互相平分的四边形为平行四边形
（2010江苏宿迁）如图，在□ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE=CF．
求证：∠EBF=∠FDE．
平行四边形中的常
第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等例1如左下图1，在平行四边形ABCD中，点E,F在
用辅助线
三角形。
对角线AC上，且
AE?CF,请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可） ⑴连结BF ⑵BF?DE ⑶证明：连结DB,DF,设DB,AC交于点O ∵四边形ABCD为平行四边形 ∴AO?OC,DO?OB ∵AE?FC ∴AO?AE?OC?FC 即OE?OF ∴四边形EBFD为平行四边形 ∴BF?DE 第二类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。 例3已知：如左下图3，四边形ABCD为平行四边形 求证：AC2?BD2?AB2?BC2?CD2?DA2 证明：过A,D分别作AE?BC于点E，DF?BC的延长线于点F ∴AC2?AE2?CE2?AB2?BE2?(BC?BE)2?AB2?BC2?2BE?BC 则AC2?BD2?AB2?BC2?CD2?DA2?2BC?CF?2BC?BE ∵四边形ABCD为平行四边形 ∴AB∥CD且AB?CD,AD?BC ∴?ABC??DCF ∵?AEB??DFC?900 ∴?ABE??DCF ∴BE?CF ∴AC2?BD2?AB2?BC2?CD2?DA2 第三类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。
例4：已知：如右上图4，在正方形ABCD中，E,F分别是CD、DA的中点，BE与CF交于P点，求证：AP?AB
证明：延长CF交BA的延长线于点K ∵四边形ABCD为正方形
∴AB∥CD且AB?CD,CD?AD,?BAD??BCD??D?900
∴?1??K 又∵?D??DAK?900,DF?AF ∴?CDF≌?KAF 页脚内容
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∴AK?CD?AB ∵CE?11CD,DF?AD ∴CE?DF 22∵?BCD??D?900 ∴?BCE≌?CDF ∴?1??2 ∵?1??3?900 ∴?2??3?900 ∴?CPB?900,则?KPB?900 ∴AP?AB
第四类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线 例6已知：如右上图6，在平行四边形ABCD中，AN?BN,BE?交BD于F，求BF:BD
解：连结AC交BD于点O,连结ON BD 211BEBF∵AN?BN ∴ON∥BC且ON?BC ∴ ?2ONFO21BF2∵BE?BC ∴BE:ON?2:3 ∴? 3FO3BF2∴? ∴BF:BD?1:5 BO5综上所述，平行四边形中常添加辅助线是：连对角线，平移对角线，延长一边中点与顶点连线等，这样可将平行四边形转化为三角形（或特殊三角形）、矩形（梯形）等图形，为证明解决问题创造条件。 1BC,NE 3∵四边形ABCD为平行四边形 ∴OA?OC,OB?OD?添加辅助线解特殊四边形题 特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线.下面介绍一些辅助线的添加方法. 一、 和平行四边形有关的辅助线作法 平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形. 1．利用一组对边平行且相等构造平行四边形 例1 如图1，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形. 求证:OE与AD互相平分. 分析:因为四边形OCDE是平行四边形,所以OC//ED,OC=DE,又由O是AC的中点,得出AO//ED,AO=ED,则四边形AODE是平行四边形,问题得证. 证明:连结AE、OD，因为是四边形OCDE是平行四边形， 所以OC//DE，OC=DE，因为0是AC的中点，所以A0//ED，AO=ED， 所以四边形AODE是平行四边形，所以AD与OE互相平分. 说明：当已知条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可试通过添加辅助线构造平行四边形. 2．利用两组对边平行构造平行四边形
例2 如图2，在△ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED//AC，FG//AC交BC分别为D，G.求证:ED+FG=AC.
分析:要证明ED+FG=AC,因为DE//AC,可以经过点E作EH//CD交AC于H得平行四边形,得ED=HC,然后根据三角形全等,证明FG=AH.
证明:过点E作EH//BC,交AC于H,因为ED//AC,所以四边形CDEH是平行四边形,所以ED=HC,又FG//AC,EH//BC,所以∠AEH=∠B,∠A=∠BFG,又AE=BF,所以△AEH≌△FBG, 所以AH=FG,所以FG+DE=AH+HC=AC.
说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问题. 3．利用对角线互相平分构造平行四边形
例3 如图3，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证BF=AC.
分析：要证明BF=AC，一种方法是将BF和AC变换到同一个三角形中，利用等边对等角；另一种方法是通过等量代换，寻找和BF、AC相等的相段代换.寻找相等的线段的方法一般是构造平行四边形.
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证明：延长AD到G，使DG=AD，连结BG，CG，
因为BD=CD，所以四边形ABGC是平行四边形，所以AC=BG，
AC//BG，所以∠1=∠4，因为AE=EF，所以∠1=∠2，又∠2=∠3，所以∠1=∠4，所以BF=BG=AC. 说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边形.当已知中点或中线应思考这种方法.
图3 图4 二、和菱形有关的辅助线的作法
和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.
例4 如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF//BC交AD于点F，求证：四边形CDEF是菱形.
分析：要证明四边形CDEF是菱形，根据已知条件，本题有量种判定方法，一是证明四边相等的四边形是菱形，二是证明对角线互相垂直平分的四边形是菱形.根据AD是∠BAC的平分线，AE=AC，可通过连接CE，构造等腰三角形，借助三线合一证明AD垂直CE. 求AD平分CE. 证明：连结CE交AD于点O，由AC=AE，得△ACE是等腰三角形， 因为AO平分∠CAE，所以AO⊥CE，且OC=OE，因为EF//CD，所以∠1=∠2， 又因为∠EOF=∠COD，所以△DOC可以看成由△FOE绕点O旋转而成，所以OF=OD，所以CE、DF互相垂直平分.所以四边形CDEF是菱形. 例5 如图6，四边形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证EF+BF的最小值等于DE长. 分析：要证明EF+BF的最小值是DE的长，可以通过连结菱形的对角线BD，借助菱形的对角线互相垂直平分得到DF=BF，然后结合三角形两边之和大于第三边解决问题. 证明：连结BD、DF. 因为AC、BD是菱形的对角线，所以AC垂直BD且平分BD， 所以BF=DF，所以EF+BF=EF+DF≥DE， 当且仅当F运动到DE与AC的交点G处时，上式等号成立，所以EF+BF的最小值恰好等于DE的长. 图6 说明：菱形是一种特殊的平行四边形，和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多，常见的几种辅助线的方法有：（1）作菱形的高；（2）连结菱形的对角线. 三、 与矩形有辅助线作法 和矩形有关的题型一般有两种：（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少. 例6 如图7，已知矩形ABCD内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求 PD的长. 分析：要利用已知条件，因为矩形ABCD，可过P分别作两组对边的平行线，构造直角三角形借助勾股定理解决问题. 解：过点P分别作两组对边的平行线EF、GH交AB于E，交CD于F，交BC于点H，交AD于G. 因为四边形ABCD是矩形， 22222222222所以PF=CH=PC-PH，DF=AE=AP-EP，PH+PE=BP， 22222222222所以PD=PC-PH+AP-EP=PC+AP-PB=5+3-4=18， 所以PD=32. 图7 说明：本题主要是借助矩形的四个角都是直角，通过作平行线构造四个小矩形，然后根据对角线得到直角三角形，利用勾股定理找到PD与PA、PB、PC之间的关系，进而求到PD的长. 四、与正方形有关辅助线的作法 正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线.
1例7如图8，过正方形ABCD的顶点B作BE//AC，且AE=AC，又CF//AE.求证：∠BCF=2∠AEB.
分析：由BE//AC，CF//AE，AE=AC，可知四边形AEFC是菱形，作AH⊥BE于H，根据正方形的性质可知四边形AHBO
1是正方形，从AH=OB=2AC，可算出∠E=∠ACF=30°，∠BCF=15°.
证明：连接BD交AC于O，作AH⊥BE交BE于H. 在正方形ABCD中，AC⊥BD，AO=BO， 又BE//AC，AH⊥BE，所以BO⊥AC，
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1所以四边形AOBH为正方形，所以AH=AO=2AC，
因为AE=AC，所以∠AEH=30°， 因为BE//AC，AE//CF，
所以ACFE是菱形，所以∠AEF=∠ACF=30°， 因为AC是正方形的对角线，所以∠ACB=45°，
1所以∠BCF=15°，所以∠BCF=2∠AEB.
说明：本题是一道综合题，既涉及正方形的性质，又涉及到菱形的性质.通过连接正方形的对角线构造正方形AHBO，进一步得到菱形，借助菱形的性质解决问题.
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八年级初二数学下册平行四边形-课件-带辅助线-完整版
