复数的几何意义
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.(2014·青岛高二检测)在复平面内,复数z=sin2+icos2对应的点位于( ) A.第一象限 C.第三象限
B.第二象限
D.第四象限
【解析】选D.因为<2<π,所以sin2>0,cos2<0,
所以复数z=sin2+icos2对应的点位于第四象限.
2.已知a,b∈R,那么在复平面内对应于复数a-bi,-a-bi的两个点的位置关系是
( )
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称
【解析】选B.在复平面内对应于复数a-bi,-a-bi的两个点为(a,-b)和(-a,-b)关于y轴对称. 【变式训练】复数z1=1+A.实轴对称 B.虚轴对称
C.一、三象限平分线对称 D.二、四象限平分线对称
【解析】选A.由实部相等,虚部互为相反数得复数z1=1+
i,z2=1-i在复平面内对应点关于实轴对称.
i,z2=1-i在复平面内对应点关于( )
3.(2014·福州高二检测)复数z与它的模相等的充要条件是( ) A.z为纯虚数 C.z是正实数
B.z是实数 D.z是非负实数
【解析】选D.因为z=|z|,所以z为实数且z≥0. 4.在复平面内,O为原点,向量的复数为( )
- 1 -
对应的复数为-1+2i,若点A关于直线y=-x的对称点为B,则向量对应
A.-2-i C.1+2i
B.-2+i D.-1+2i
【解析】选B.因为A(-1,2)关于直线y=-x的对称点B(-2,1), 所以向量
对应的复数为-2+i.
5.已知复数z=a+i(其中a∈R,i为虚数单位)的模为|z|=2,则a等于( ) A.1
B.±1
2
C. D.±
.
【解析】选D.因为|z|=2,所以a+1=4,所以a=±
【变式训练】已知0 B.(1,3) D.(1, ) ) 【解析】选C.|z|=所以1 2 ,0 . 6.(2014·南宁高二检测)在复平面上,点Z1对应的复数是4+i,线段Z1Z2的中点对应的复数是1+2i,则点Z2对应的复数是( ) A.-2+3i C.2-3i B.-2-3i D.2+3i 【解析】选A.依题意有,在复平面内,点Z1的坐标(4,1),线段Z1Z2的中点坐标为(1,2),设点Z2的坐标为(a,b),则有 解得 所以点Z2对应的复数是-2+3i,选A. 二、填空题(每小题4分,共12分) 7.(2013·湖北高考)i为虚数单位,设复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z1=2-3i,则z2= . 【解题指南】从复数与复平面上的点的对应角度处理. 【解析】因为z1=2-3i对应的点的坐标为(2,-3),且复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,所以z2在复平面内对应点的坐标为(-2,3),对应的复数为z2=-2+3i. 答案:-2+3i 8.已知△ABC中,【解析】因为 ,, 对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,则对应的复数分别为-1+2i,-2-3i, 对应的复数为 . - 2 - 所以又所以 = =(-1,2),- =(-2,-3). =(-2,-3)-(-1,2)=(-1,-5), 对应的复数为-1-5i. 答案:-1-5i 9.(2014·三亚高二检测)已知复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z= . 【解析】设z=a+bi(a,b∈R),则|z|=所以 所以z=-15+8i. 答案:-15+8i 【一题多解】原式可化为z=2-|z|+8i. 因为|z|∈R,所以2-|z|是z的实部,于是|z|=即|z|=68-4|z|+|z|. 所以|z|=17.代入z=2-|z|+8i,得z=-15+8i. 三、解答题(每小题10分,共20分) 10.(2014·郑州高二检测)如果复数z=(m+m-1)+(4m-8m+3)i(m∈R)对应的点在第一象限,求实数m的取值范围. 【解析】因为z=(m+m-1)+(4m-8m+3)i, 由题意,得 2 2 2 2 2 2 ,代入方程,得a+bi+ =2+8i, 解得 , 解得m<或m>, 或m>. 2 即实数m的取值范围是m< 11.已知m,n∈R,若log2(m-3m-3)+ilog2(m-2)为纯虚数,复数z=m+ni的对应点在直线x+y-2=0上,求|z|. 【解题指南】首先利用纯虚数的条件,求出m的值.再利用复数z对应的点在直线x+y-2=0上,求n的值.最后计算出|z|. 【解析】由纯虚数的定义知 - 3 - 解得m=4. 所以z=4+ni. 因为z的对应点在直线x+y-2=0上, 所以4+n-2=0, 所以n=-2. 所以z=4-2i, 所以|z|==2 . 一、选择题(每小题4分,共16分) 1.(2013·福建高考)复数z=-1-2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于 ( ) A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限 【解析】选C.因复数z=-1-2i的实部为-1,虚部为-2,故由几何意义可知,复数在第三象限. 【变式训练】若θ∈A.第一象限 C.第三象限 ,则复数(cosθ+sinθ)+(sinθ-cosθ)i在复平面内所对应的点在( ) B.第二象限 D.第四象限 【解析】选B.取θ=π,得(cosθ+sinθ)+(sinθ-cosθ)i=-1+i,则复数在复平面内所对应的点在第二象限. 2.(2014·武汉高二检测)已知复数z对应的向量为复数z的模为2,则复数z为( ) A. 1+C.(-1, i ) B.2 i (O为坐标原点), 与实轴正向的夹角为120°,且 D. -1+ 【解析】选D.根据题意可画图形如图所示: - 4 - 设点Z的坐标为(a,b), 因为| |=|z|=2,∠xOZ=120°, , ), 所以a=-1,b= 即点Z的坐标为(-1,所以z=-1+ i. 3.(2013·太原高二检测)在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是( ) A.4+8i C.2+4i B.8+2i D.4+i 【解题指南】先求出复数在复平面上对应点的坐标,再利用中点坐标公式求出C点,再把点的坐标还原为复数. 【解析】选C.由题意,得点A(6,5),B(-2,3).由C为线段AB的中点,得点C(2,4), 所以点C对应的复数为2+4i. 【变式训练】已知复数z1=-2+3i的对应点为Z1,Z2与Z1关于x轴对称,Z3与Z2关于直线y=-x对称,则点Z3对应的复数为z= . 【解析】Z1(-2,3),Z2(-2,-3),Z3(3,2) 所以z=3+2i. 答案:3+2i 4.(2013·郑州高二检测)已知z=cos的轨迹是( ) A.圆面 B.以点C为圆心,半径等于1的圆 C.满足方程x+y=1的曲线 2 2 +isin,i为虚数单位,那么平面内到点C(1,2)的距离等于|z|的点 - 5 -
高中数学 3.1.2 复数的几何意义课时提升作业 新人教A
