与圆切线性质有关的证明及计算
1．如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E.
(1)求证：DC＝DE；
1
(2)若tan∠CAB＝，AB＝3，求BD的长．
2
解：(1)连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°，∴∠ACO＋∠DCE＝90°，又∵ED⊥AD，∴∠EDA＝90°，∴∠EAD＋∠E＝90°，∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠EAD，∴∠DCE＝∠E，∴DC＝DE (2)设BD＝x，则AD＝AB＋BD＝3＋x，OD＝OB＋BD＝1.5＋x，在Rt△EAD11112
中，∵tan∠CAB＝，∴ED＝AD＝(3＋x)，由(1)知，DC＝(3＋x)，在Rt△OCD中，OC
2222122222
＋CD＝DO，则1.5＋[(3＋x)]＝(1.5＋x)，解得：x1＝－3(舍去)，x2＝1，故BD＝1
2
2．(导学号 )(2015·铜仁)如图，已知△ABC的边AB是⊙O的切线，切点为点B.AC经过圆心O并与圆相交于点D，C，过点C作直线CE⊥AB，交AB的延长线于点E.
(1)求证：CB平分∠ACE；
(2)若BE＝3，CE＝4，求⊙O的半径．
解：(1)如图，连接OB，∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB，∵CE⊥AB，∴OB∥CE，∴∠1＝∠3，∵OB＝OC，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴CB平分∠ACE (2)连接BD，∵CE⊥AB，∴∠E＝90°，∴BC＝BE＋CE＝3＋4＝5，∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC＝90°，∴∠E
2
CDBC52512525
＝∠DBC，∴△DBC∽△BEC，∴＝，∴CD＝＝，∴OC＝CD＝，∴⊙O的半径为
BCCE44288
2222
︵
3．(导学号 )(2016·凉山州)如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，点A是BDC的中点，︵︵
AE⊥AC于点A，与⊙O及CB的延长线交于点F，E，且BF＝AD.
(1)求证：△ADC∽△EBA；
(2)如果AB＝8，CD＝5，求tan∠CAD的值．
︵︵
解：(1)∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDA＝∠ABE.∵BF＝AD，∴∠DCA＝︵︵︵
∠BAE.∴△ADC∽△EBA (2)∵点A是BDC的中点，∴AB＝AC，∴AB＝AC＝8，∵△ADC∽△DCAC5864AC85
EBA，∴∠CAD＝∠AEC，＝，即＝，∴AE＝，∴tan∠CAD＝tan∠AEC＝＝＝
ABAE8AE5AE648
5
4．(导学号 )(2016·达州)如图，已知AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接AC，BC，过点O作OD⊥AC于点D，过点A作半圆O的切线交OD的延长线于点E，连接BD并延长交AE于点F.
(1)求证：AE·BC＝AD·AB；
3
(2)若半圆O的直径为10，sin∠BAC＝，求AF的长．
5
解：(1)∵AB为半圆O的直径，∴∠C＝90°，∵OD⊥AC，∴∠CAB＋∠AOE＝90°，∠
ADE＝∠C＝90°，∵AE是切线，∴OA⊥AE，∴∠E＋∠AOE＝90°，∴∠E＝∠CAB，∴△EAD∽△ABC，∴AE∶AB＝AD∶BC，∴AE·BC＝AD·AB (2)作DM⊥AB于点M，∵半圆O的直径3122为10，sin∠BAC＝，∴BC＝AB·sin∠BAC＝6，∴AC＝AB－BC＝8，∵OE⊥AC，∴AD＝
521OD3DM12
AC＝4，OD＝BC＝3，∴sin∠OAD＝＝，∵sin∠OAD＝sin∠MAD＝，∴DM＝，AM＝
2AO5AD5AD－DM＝
221221634DMBM602
4－（）＝，BM＝AB－AM＝，∵DM∥AE，∴＝，∴AF＝
555AFBA17
（陕西地区）2017年中考数学总复习考点跟踪训练二十四与圆切线性质有关的证明及计算
