数学试卷
（考试时间：120分钟 满分： 150分）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 若平面
平面
，直线
平面
，点平面
，则在平面
内过点B的所有直线中
A. 不一定存在与a平行的直线 C. 存在无数条与a平行的直线
2. 下列结论错误的是
B. 一定不存在与a平行的直线 D. 存在唯一一条与a平行的直线
A. 经过两条相交直线有且只有一个平面
个平面
B. 经过两条平行直线有且只有一
C. 经过三点有且只有一个平面
有一个平面
3. 已知直线a，b和平面
，下列命题中正确的是
D. 经过直线和直线外一点有且只
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则或
4. 变量x，y之间的一组相关数据如表所示：
x y 4 5 6 7 若x，y之间的线性回归方程为，则的值为
A. B. C. D.
5. 如图所示的圆锥的俯视图为
A. B. C. D.
6. 将一个正六面体的骰子连掷两次，则它们的点数相同的概率是
A.
B.
C.
D.
7. 口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，
摸出白球的概率为
，则摸出黑球的概率为
C.
D.
A. B.
8. 某正方体的外接球体积
A. 6 9. 如图，
积是
，则此正方体的棱长为
B. 3 C.
，则的面
D.
是一平面图形的直观图，直角边
A. B. C. 1 D.
10. 下图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据我国古代数学家赵爽
弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客已知图中直角三角形两个直角边的长分别为2和若从图中任选一点，则该点恰在阴影区域的概率为
A.
B.
C.
D.
11. 我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：
幂势相同，则积不容异
“幂”指水平截面的面积，“势”指几何体的高，
意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等已知某不规则几何体与如图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为
A.
B. D.
C.
12. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的半径为
A. 2
B.
C.
D. 3
二、填空题（(本大题共4小题，共20.0分)）
13. 将腰长为1cm一个等腰直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转一周，所得几
何体的体积为______
．
14. 用一个平面去截半径为5cm的球，截面面积是则球心到截面的距离为_______． 15. 如图所示，在正方体
分别为AB，AD的中点，则为_____________．
中．若E，F
与EF所成角的大小
16. 已知一个圆锥的侧面展开图为半圆，面积为S，则该圆锥的底面面积是______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 某几何体的三视图如图所示单位：
．
求该几何体的表面积结果保留求该几何体的体积结果保留
． ．
18. 如图，在三棱柱中，E，F分别为和BC的中点，
M，N分别为的中点求证：
平面
；
19. 一颗质地均匀的正四面体的四个面上分别写有数字1、2、3、4，将它先后抛掷两次，
翻看正四面体与桌面接触的面上的数字，并分别记为x，y．
记“
”为事件A，求事件A发生的概率；
记“”为事件B，求事件B发生的概率．
20. 已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别是240，160，现采用分层抽样的
方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动． 应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学
承担敬老院的卫生工作，求事件M“抽取的2名同学来自同一年级”发生的概率．
21. 假设关于某种设备的使用年限
x y 已
2 3 4 5 年与所支出的维修费用
6 万元有如表统计资料：
知
，
，
．
求，；
与y具有线性相关关系，求出线性回归方程； 估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？
22. 在直四棱柱中，已知
，，
． 求证：
平面
； 的距离．
，E为DC上一点，且
求点D到平面
数学答案和解析
【答案】
1. D 8. D 13. 14. 4cm 15. 16. 17. 解：
2. C 9. B
3. D 10. C
4. C 11. C
5. C 12. A
6. C
7. D
由三视图可知：该几何体是由半球和正四棱柱组成，
棱柱是正方体棱长为2，球的半径为1，……2分
该几何体的表面积正方体的表面积半球面面积球的底面积，……1分
……3分
该几何体的体积为正方体的体积半球的体积，……1分
……3分
18. 证明：，N分别为
……2分 平面ABC，
平面ABC，……2分
平面ABC．……2分
，……1分
，……1分
的中点，
由线面平行的判定定理可得
取AB的中点G，连结FG，则
，
则，所以四边形为平行四边形，
故，……2分
又平面故EF
平面
，平面
B. ……1分
B.……1分
19. 解：一颗质地均匀的正四面体的四个面上分别写有数字1、2、3、4，
将它先后抛掷两次，翻看正四面体与桌面接触的面上的数字，并分别记为x，y． 基本事件总数记“
，……2分
，……2分
”为事件A，则事件A包含的基本事件总数
．……2分
有：
事件A发生的概率
记“”为事件B，则事件B包含的基本事件，
，
，
，共4个，……3分
． ……3分
事件B发生的概率
20. 解：由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3：2：2……2分
因为采取分层抽样的方法抽取7名同学，所以应分别从甲、乙、丙三个年级分别抽取3人，2人，2人……2分
从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为 AB AC AD AE AF AG BC BD BE BF BG CD CE CF CG DE DF DG EF EG FG 共21种．……2分
不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C， 来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，……2分
则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为AB，AC，BC，DE，FG共5种．……2分
．……2分
所以事件M发生的概率
21. 解：，……1分
．……1分
，……2分
．……2分
所以线性回归方程为
当
时，
．……2分
万元，……2分 万元． ……2分
即估计使用年限为10年时，维修费用约为
22. 解：
证明：由题意可知，，且，
，，
故四边形ABED为平行四边形，……2分
，，
四边形，……2分
为平行四边形，
不在平面内，在平面内，
平面．……2分
（2）三棱锥，与三棱锥是同一个几何体。
在中，,
在中，,……3分 ……1分
即
即D到平面【解析】
的距离为 ……2分
1. 【分析】
根据题意可得直线【解答】
解：直线a与点B确定一个平面．这个平面与则这两个平面就有唯一一条通过B点的交线l，
有公共点B，
与点B确定一个平面，再根据线面平行的性质可得结论．
而由两平面平行的性质定理得l a，
故选D．
2. 略
3. 解：对于A，若
对于B，若
，，则
，则或a与b异面；所以A错；
，或ayub相交或a与b异面；所以B错；
对于C，若对于D，因为以
或，
，，则
，所以在
或，所以C错；
，所以，因为
，所
内存在直线c使得，因为
当时，因为故选：D． 由于若
，
，，所以，故D正确；
，则或a与b异面；得到A错；由于若
，
，则
或
，，则或
ayub相交或a与b异面；得到B错；由于若，得到C错；
利用直线与平面平行的性质定理与判定定理，得到D正确；
本题考查直线与平面平行的性质定理及直线与平面平行的判定定理，属于基础题．
4. 解：由题意得：
，
故样本中心点是 故 故选：
的值即可．
，
， ，解得：
，
求出样本的中心点，代入回归方程求出
本题考查线性回归方程的性质，本题解题的关键是根据所给的条件求出直线的样本中心点，线性回归方程一定过样本中心点是本题解题的依据，本题是一个基础题．
5. 【分析】
本题考查了空间几何体的三视图的应用问题根据俯视图的定义知，得出该圆锥的俯视图是等腰三角形，从而得出正确的答案． 【解答】
解：根据俯视图的定义知，
由物体上方向下做正投影得到的视图是俯视图， 该圆锥的俯视图是等腰三角形， 符合条件的是选项C． 故选C
6. 解：将一个正六面体的骰子连掷两次，
基本事件总数
，
它们的点数相同包含的基本事件有6个，分别为：
，
，
，
，
，．
，
它们的点数相同的概率是故选：C． 基本事件总数
出它们的点数相同的概率．
，它们的点数相同包含的基本事件有6个，利用列举法能求
本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7. 【分析】
本题考查了等可能性事件的概率求法和互斥事件．本题解题的关键是做出黑球的个数，本题是一个基础题． 【解答】
解：口袋内有100个大小相同的红球、白球和黑球从中摸出1个球，摸出白球的概率为口袋内白球数为有45个红球， 黑球为个．
从中摸出1个球，摸出黑球的概率为故选D
个，
，
8. 【分析】
本题考查球的体积的问题，属于基础题．
正方体的体对角线长即为其外接球的直径，因而可求得结果． 【解答】
解：设正方体的棱长为x，
因为正方体的体对角线长即为其外接球的直径， 所以
，解得
．
故选D．
9. 【分析】
本题考查直观图与斜二测画法，属基础题目． 根据斜二测画法，还原直角坐标图形，再求面积． 【解答】
解：还原直观图为直角坐标图，如图：
在中，，
，
且，．
故选B．
10. 【分析】
本题考查了几何概型，属于简单题．
由直角三角形的两直角边分别求出两个正方形的面积，由此求得概率值． 【解答】
解：每个直角三角形的直角边的边长分别是2和3，
大正方形的边长为，小正方形的边长为；
大正方形的面积为13，小正方形的面积为1；
可得在大正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分内的概率为故选：C．
．
11. 【分析】
本题主要考查祖暅原理，利用三视图求几何体的体积，属于基础题．
根据三视图，可得该几何体是正方体挖去一个半圆柱，利用三视图的数据求解即可． 【解答】
解：由题意可得，几何体是正方体挖去一个半圆柱，如图：
故它的体积为故选C．
．
12. 解：正四棱锥的外接球的球心在它的高
，
，
，
上，记为O，
在中，得，
球的半径为2． 故选：A．
画出图形，正四棱锥的外接球的球心在它的高半径．
本题考查球的内接体问题，解答关键是利用直角三角形列方程式求解球的半径，是基础题．
上，记为O，求出
，
，解出球的
13. 解：将腰长为1cm一个等腰直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转一周，
所得到的几何体是底面半径为，高为的圆锥，
所得几何体的体积为：
故答案为：．
将腰长为1cm一个等腰直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转一周，所得到的几
何体是底面半径为，高为的圆锥，由此能求出所得几何体的体积．
本题考查几何体的体积的求法，考查旋转体的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14. 【分析】
本题主要考查了球的截面圆性质、勾股定理等知识，考查了空间想象能力，属于基础题． 根据圆的面积公式算出截面圆的半径到截面的距离． 【解答】
解：设截面圆的半径为r， 截面的面积是，
，利用球的截面圆性质与勾股定理算出球心
，可得．
又球的半径为5cm，
根据球的截面圆性质，可得截面到球心的距离为
．
故答案为4cm．
15. 【分析】
本题主要考查异面直线所成的角，涉及平行公里，属于基础题． 连接BD，
，结合平行公里，可得
，所以
与
所成的角就是
与EF
所成的角，可得结论． 【解答】
解：如图：
连接BD，，因为E，F分别为AB，AD的中点，所以，
又在正方体中，，
所以，所以四边形为平行四边形，所以，
所以，所以与所成的角就是与EF所成的角，因为
，所以，即与EF所成角的大小为，
故答案为
．
16. 解：设圆锥的母线长为L，底面半径为R
若圆锥的侧面展开图为半圆
则，
即，
又圆锥的侧面展开图为半圆且面积为S， 则圆锥的底面面积是． 故答案为：．
由已知中圆锥的侧面展开图为半圆且面积为S，我们易确定圆锥的母线长L与底面半径R之
间的关系，进而求出底面面积即可得到结论．
本题考查的知识点是圆锥的表面积，根据圆锥的侧面展开图为半圆，确定圆锥的母线长与底面的关系是解答本题的关键．
几何体的表面积与体积的求法，考查空间想象17. 本题考查三视图复原几何体形状的判断，能力与计算能力．
通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的表面积； 利用组合体的体积求出几何体的体积即可．
18. 本题主要考查了线面平行的判定定理，属于较易题．
由题意，
，由线面平行的判定定理可得结果．
，易得四边形
为平行四边形，
取AB的中点G，连结FG，故
，由线面平行的判定定理可得结果． 基本事件总数
，记“
”为事件A，则事件A包含的基本事件总
．
有4个，由此能求出事件B
19.
数
，由此能求出事件A发生的概率
记“”为事件B，利用列举法求出事件B包含的基本事件发生的概率
．
本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20. 本题考查分层抽样的定义以及古典概型求概率，属较易题．
由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，所以应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人；
从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为共21种，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为共5种，求概率．
21.
利用表格直接求解样本中心的坐标．
利用已知条件，结合公式求解回归直线方程的斜率与截距，然后求解回归直线方程． 通过
，代入回归直线方程，求解维修费用即可．
本题考查回归直线方程的求法与应用，是基本知识的考查．
22.
先证明，再利用线面平行的判定即可得证；
过D作进而得解
交于M，分析可知点D到平面的距离即为DM长，
安徽省阜阳市颍上县颍二中2020-2021学年高二上学期第一次月考数学 Word版含答案
