2.
3. ① ②
4. ①x(n)=u(n), 求其Z变换。
解：
当|z|>1时 X(z)存在，因此收敛域为|z|>1 ②x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域。（有限长序列）
解：
收敛域为： 0<|z|≤∞
③求序列x(n)?anu(n)的Z变换及收敛域。（右边序列之因果序列）
解：
X(z)?n????au(n)zn??n??(azn?0??1n)
?1?az?1?(az?1)2???(az?1)n?这是无穷等比级数,公比是q?az?1，
在什么情况下收敛？|az?1|?1,即|z|?|a|
所以：X(z)?1z?,z?a z?a1?az?1本例，极点为z=a。
④求序列 x(n)??bnu(?n?1)z变换及收敛域（左边序列之反因果序列） 解：X(z)?n?????bu(?n?1)zn??n?n?????bz?1n?n???(b?1z)n
n?1?本例，极点为：z=b
an⑤求序列 x(n)????1n??bn?0z变换及收敛域 n?0X(z)?解：
n?????bzn?n??anz?n?n?0?zz?z?bz?a?z(2z?a?b),|a|?|z|?|b|(z?a)(z?b)
本例，极点为：z=a,z=b
⑥ y(n)?anu(n)的Z变换为 1/(1-az-1) ____ ，收敛域为___∣z∣>∣a ___。
y(n)??anu(?n?1)的Z变换为 1/(1-az-1) ____ ，收敛域为___∣z∣<∣a ___。
5.①已知X(z)=(1－az－1)－1，|z|>a, 求其逆Z变换x(n)。（留数法）
解： n≥0时，F(z)在c内只有1个极点：z1=a； n<0时，F(z)在c内有2个极点：z1=a, z2=0（高阶）；
②PPT例11（留数法）
③PPT例12（部分分式展开法） ④（考原题！！！！！！！！！！）已知X(z)?z21(4?z)(z?)4,z?4， 求z反变换。
limX(z)??1，即X(z)的收敛域包含?处，z??解: 且x(n)是右边序列，故x(n)是因果序列。所以当n<0时，x(n)=0。只需考虑n≥0时的情况。 如图所示，取收敛域的一个围线c，可知
当n≥0时, C内有两个一阶极点 z?1/4,z?4，
x(n)?Res[zn?1/(4?z)(z?所以
?Res[zn?1?1)]z?441/(4?z)(z?)]1
4z?41?n4?4n?2,n?015??故?1?nn?2?4?4,n?0 x(n)??15?n?0?0z2(4?z)(z?1)4,1?z?4，求z反变换。 4??⑤已知X(z)?如图所示，取收敛域的一个围线c， 分两种情况讨论：
（1）n≥－1时，C内只有一个一阶极点z=1/4 （2）当n<-1时，
C内有极点：z=1/4(一阶), z=0（高阶）；
而在C外仅有 z=4(一阶)这个极点，且F(z)的分母多项式比分子多项式的最高次数高2阶以上， 6.①已知
，分析其因果性和稳定性。
解 H(z)的极点为z=a, z=a－1。
（1） 收敛域为a－1<|z|≤∞: 对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。
（2） 收敛域为0≤|z| （3） 收敛域为a<|z| ②时域离散线性时不变系统的系统函数为H(z)?1,a,b为常数。若要 (z?a)(z?b)求系统稳定，则a的取值域为__|a|≠1__和 b的取值域为____|b|≠1____。 ③时域离散线性时不变系统的系统函数为H(z)?1,a,b为常数。若要 (z?a)(z?b)求系统因果稳定，则a的取值域为__0≤|a|<1__和 b的取值域为___0≤|b|<1__。 ④8、如果系统函数用下式表示: H(z)?1。则下列关于收敛 (1?0.5z?1)(1?0.9z?1)域的说法正确的是（ D ） A．该系统无法通过选择适当的收敛域使该系统因果稳定 B．收敛域为|z|<0.5 时，系统因果稳定 C．收敛域为0.5<|z|<0.9时，系统因果稳定 D．收敛域为|z|>0.9时，系统因果稳定 7.①已知系统的差分方程为：y(n)?by(n?1)?x(n),0?b?1。指出系统函数的零极点并分析系统的频响特性。 解：系统的传输函数为： H(z)?1z?z?b1?bz?1|z|?b ∴极点为z=b ，零点为z=0 ②已知H(z)=1－z－N，试定性画出系统的幅频特性。 解 极点：H(z)的极点为z=0，这是一个N阶极点，它不影响系统的幅频响应。 零点：零点有N个，由分子多项式的根决定。 ③已知某数字滤波器的系统函数为：H(z)?1 1?0.9z?1（1）画出零极点分布图 （2）利用几何确定法分析幅度特性，画出幅度特性图； （3）试判断滤波器的类型（低通、 高通、 带通、 带阻）。 解： （1）将系统函数写成下式: H(z)?1z＝ z?0.91?0.9z?1 系统的零点为z=0， 极点为z=0.9，零点在z平面的原点，零极点分布图为： （2）不影响频率特性，而惟一的极点在实轴的0.9处， 幅度特性图为： （3）滤波器的通带中心在ω=0处，这是一个低通滤波器。 8.下列关系正确的为（ D ） 判断：时域离散信号傅里叶变换存在的充分条件是序列绝对可和。（ 对 ） 判断： 序列的傅里叶变换是频率ω非周期函数。（ 错 。 序列的傅里叶变换是频率ω的周期函数，周期是2π。 ） 判断：序列z变换的收敛域内可以含有极点。( 错 ) 若H（Z）的收敛域包括∞点，则 h（n）一定是__因果_序列。 线性时不变系统h(n)是因果系统的充要条件是________ h(n)=0,n<0 或收敛域在某圆的外面____________。 线性时不变系统h(n)是稳定系统的充要条件是_________ h(n)绝对可和或收敛域包括单位圆___________。 序列的傅里叶变换等于序列在(????单位圆???? )上的Z变换。 ====================第三章 离散傅里叶变换(DFT)=================== 1. ①已知x(n)?R4(n)，分别求8和16点DFT （1）N?8时解： X(k)??x(n)Wn?0N?1nkN??R(n)e4n?07?j2πkn8??en?03πkn?j28 频率采样点数不同，DFT的长度不同，DFT 的结果也不同。 ② ③假设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入信号x(n)分别用下式表示 h(n)?R8(n),x(n)?R4(n) （1）计算该系统的输出信号y(n) （2）如果对x(n)和h(n)分别进行12点DFT，得到X(k)和H(k),令Y1(k)?H(k)?X(k) y1(n)?IDFT[Y(k)] 1求y1(n) 解：（1）y(n)={1,2,3,4,4,4,4,4,3,2,1} （2）y1(n)={ 1,2,3,4,4,4,4,4,3,2,1,0} 2. ①计算下面给出的两个长度为4的序列h(n)与x(n)的4点和8点循环卷积。 解：h(n)与x(n)的4点循环卷积矩阵形式为 h(n)与x(n)的8点循环卷积矩阵形式为 ② ③已知长度为N=10的两个有限长序列： （1）做图表示x1(n)、 x2(n) （2）求y1(n)=x1(n) * x2(n) （3）求y2(n)=x1(n) 圈* x2(n) ， 循环卷积区间长度L=10。 3. 利用DFT的共轭对称性，设计一种高效算法，通过计算一个N点DFT，就可以计算出两个实序列x1(n)和x2(n)的N点DFT。 解：构造新序列x(n)=x1(n)+jx2(n)，对x(n)进行DFT，得到： 4. 对6点有限长序列{5，1，3，0，5，2}进行向左2点圆周移位后得到序列__{3，0， 5，2，5，1} __。 5.已知y(n)=x(n)*h(n)， x(n)和h(n) 的长度分别为M和N。 x(n)和h(n)的L点循环卷积（L>M，L>N）用w(n)表示，w(n)=y(n)的条件是___L≥M+N-1___________。（循环卷积等于线性卷积的条件） 离散傅里叶变换中，有限长序列都是作为周期序列的一个周期来表示的，都隐含有周期性的意思。( 对 ) ====================第四章 快速傅里叶变换(FFT)=================== 1. 画出16点基2DIT-FFT和基2DIF-FFT的运算流图，并计算其复乘和复加的计算量。 2.一个蝶形运算，需要_____一___次复数乘法和___两_____次复数加法运算。 对于N点（N=2M）的按时间抽取的基2FFT算法，共需要作 MN/2 次复数乘和_ MN___次复数加。 下列关于FFT说法错误的是（ B ）。 A. DIF-FFT算法与DIT-FFT算法的运算量一样。 B. DIT-FFT算法输入序列为自然顺序，而输出为倒序排列。 C. DIF-FFT算法与DIT-FFT算法的蝶形运算略有不同，DIF-FFT蝶形先加(减)后相乘，而DIT-FFT蝶形先乘后加(减) 。 D. FFT算法就是不断地把长序列的DFT分解成几个短序列的DFT来减少DFT的运算次数。 循环卷积与数字卷积的关系（只记结论） ===================第五章 数字滤波器的基本结构=================== 1. 2.① ② ③ ④已知一个IIR滤波器的系统函数为H(z)? 则此滤波器的直接型结构表示为_。 ⑤假设滤波器的单位脉冲响应为h(n)?anu(n)数，并画出它的直接型结构。 0?a?1。求出滤波器的系统函 11?2z?1?3z?2 1，z?a 1?az?1⑥已知系统的单位脉冲响应为： 试写出系统的系统函数，并画出它的直接型结构。 解： 将进行Z变换，得到它的系统函数 解：H(z)?ZT[h(n)]?H(z)?1?2z?1?0.3?2z?2.5?3z?0.5?5z 3. 4. ①若数字滤波器的结构如图所示：则它的差分方程为 y(n)=2y(n－1)－0.8y(n－1?3z?12)+x(n)+3x(n－1) ， 系统函数为H(z)?。 1?2z?1?0.8z?2② 图中画出了四个系统， 试用各子系统的单位脉冲响应分别表示各总系统的单位脉冲响应， 并求其总系统函数。 解：(1) h(n)=h1(n)*h2(n)*h3(n), H(z)=H1(z)H2(z)H3(z (2) h(n)=h1(n)+h2(n)+h3(n), H(z)=H1(z)+H2(z)+H3(z (3) h(n)=h1(n)*h2(n)+h3(n), H(z)=H1(z) H2(z)+H3(z
数字信号处理习题及答案
