第十章 浓度问题
[知识精要]
我们知道,把盐放到水中以后呢,慢慢地盐水就会消失,这时我们把得到的盐水称作溶液,把盐称作是溶质,把水称作是溶剂。从这个简单的生活常识中我们可以引申出浓度的概念。浓度:溶质的质量占溶液总质量的百分比叫做浓度。浓度问题可以看成是第三章中百分数问题的一个特例。作为本章核心内容的是以下几个公式: 浓度问题的公式:
溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重量 溶质的重量÷溶液的重量×100%=浓度 溶液的重量×浓度=溶质的重量 溶质的重量÷浓度=溶液的重量 这些公式是我们解答浓度问题的“钥匙”。可以说,只要掌握了这几个公式,我们就可以解答所有的与浓度有关的问题,无论题目怎样变化,也始终逃不出我们的手掌心。下面在进入解题之前,让我们首先通过举例来熟悉这几个公式。
[例题] 甲容器有8%的盐水300克,乙容器有12.5%的盐水120克,往甲乙两个容器中分别倒入等量的水,使两个容器中的盐水的浓度一样,问倒入了多少克的水?
这是一道比较复杂的浓度题,但是解体的思路却很清晰。容易想到的是,往两个容器里加水之后,虽然溶液的重量和密度都发生了变化,但是溶液中盐的质量却没有改变(像这样在某一过程中保持不变的量我们称之为守恒量),抓住这个守恒量,我们便可以列出方程了。设加入水的质量为x克,由于两个容器中的盐的质量没有改变,所以甲容器中的盐的质量为(300×8%)克,乙容器中盐的质量为(120×12.5%)克,最终两容器中盐的浓度相等,所以,它们的盐的质量比就等于水的质量比:
(300+x):(120+x)=(300×8%):(120×12.5%) 解出:x=180(克)。
[解答]设加入水的质量为x克。列出方程: (300+x):(120+x)=(300×8%):(120×12.5%) 解出,x=180(克)。 答:(略) [经典例题]
[例1] 要从含盐12.5%的盐水40千克里,蒸发掉一部分水,制成含盐20%的盐水,问:最后应剩多少盐水?
[分析] 蒸发时水的质量会变少,但是盐的质量却不会改变,所以盐的质量是一个守恒量。当题目中出现守恒量时,我们往往那个可以列出这样一个等式:
守恒量 = 初始状态时的表示 = 末状态时的表示 利用这个等式,便可以列出如下的等式:
盐的质量 = 40×12.5%(千克)=最后剩下的盐水的质量×20%(千克) 所以最后剩下的盐水的质量为:40×12.5%÷20%=25(千克)。 [解答] 溶液中盐的质量为:40×12.5%=5(千克) 最后剩余的盐水的质量为:5÷20%=25(千克)。 答:最后剩余25千克盐水。
[评析] 抓住“盐的质量”这个守恒量是解题的关键。 [举一反三]
1. 蜜蜂采的花蜜中含有60%的水分,用这种花蜜酿出只含水分20%的蜂蜜3.5千克,需要这样
的花蜜多少千克?
2.把浓度为95%的盐水150克,稀释成75%的盐水,要加水多少千克?
3.现有浓度为0.7%的盐水50克,要把它加水稀释成浓度为0.07%的生理盐水,需要加水多少克?
[例2] 将10千克20%的盐水和40千克10%的盐水混合后得到的盐水的含盐百分比是多少? [分析] 盐水的含盐百分比也即盐水的浓度=盐的质量÷盐水的质量,所以只要分别求出盐和盐水的质量就可以了。盐的质量是10×20%+40×10%=6(千克),盐水的质量是10+40=50(千克),所以混合后的盐水的浓度就是6÷50=12%。
[解答] 盐的质量是10×20%+40×10%=6(千克); 盐水的质量是10+40=50(千克);
所以混合后的盐水的浓度就是6÷50=12%。 答:混合后,盐水的含盐百分比为12%。
[评析] 由两种不同浓度的溶液经过混合得到的新溶液,它的总质量是原来两种溶液的质量的和,它的溶质的质量是原来的两种溶液中的溶质的质量的和。
[举一反三]
1.将100千克浓度为10%的酒精与200千克浓度为5%的酒精溶液混合,得到的混合溶液的浓度是多少?
2.把50升5%的盐水加入10升10%的盐水中,得到的盐水的浓度是多少?
3.由20千克质量分数为15%的糖水溶液与30千克质量分数为10% 的糖水溶液混合的得到的混合溶液的浓度是多少?
[例3] 有甲乙两种糖水,甲含糖270克,含水30克,乙含糖400克,含水100克,现要得到浓度是82.5%的糖水100克,问每种应取多少克?
[分析] 甲乙两种糖水的浓度根据条件可以求出来,题目要求得到的糖水的质量和浓度都是已知的,于是只要我们知道两种糖水中一种糖水的质量,那么另一种糖水的质量就知道了,从而它们各自包含的盐的质量也就知道了。
[解答] 甲种糖水的浓度是270÷(270+30)=90%, 乙种糖水的浓度是400÷(100+400)=80%,
设需要甲溶液的质量为x克。则需要乙溶液的质量就是(100 -x)克,根据前后盐的质量相等,列出方程:x×90%+(100-x)×80%=100×82.5
解出:x=25(克)。 100-25=75(克)
答:需要甲溶液25克,乙溶液75克。
[评析] 这是一道比较典型的配制溶液问题。题目一般会告诉我们两种不同浓度的溶液,然后要我们利用这两种溶液来配制某种质量某种浓度的溶液。这时我们一般地设出其中一种溶液的质量,然后利用前后溶质的质量守恒来列出方程,求出未知量就可以了。
[举一反三]
1.有甲乙两种盐水,甲的浓度为20%,乙的浓度为10%。现要求配制100克浓度为15%的盐水,问需要甲乙两种盐水各多少克?
2.小明和小红两人各有一杯糖水,小明的糖水的浓度是10%,小红的糖水的浓度为40%。现在他们要配制一杯浓度是20%的糖水,那么两个人拿出的糖水的重量比是多少?
3.有甲乙两种酒精溶液,甲的浓度为30%,乙的浓度为20%,现在如果要配制浓度为25%的酒精溶液20千克,需要甲乙两种溶液各多少千克?
[例4] 一个容器内有浓度为15%的盐水,若再加入20千克的水,则盐水的浓度变为10%,问这个容器内原来含盐多少千克?
[分析] 这道题与例1相同之处在于,盐的质量都是守恒量,但本题中只知初始浓度,所以必须设出原来盐的质量。设容器中原来含盐x千克。那么原来的溶液质量是x÷15%(千克),最后溶液的质量为x÷10%(千克),它们的差值就是加入水的质量20千克,即: x÷10% - x÷15% = 20,从中解出x即可。
[解答] 设容器中原来含盐x千克。 列方程:x÷10% - x÷15% = 20 解出:x=6(千克) 答:原来含盐6千克。
[评析] 这道题的关键在于抓住不变量,同时要学会设变量,并写出等式。如果不设变量的话,也可以通过分析一步步地求出答案,但是可以预见,分析过程将会比较的复杂。当题中出现不变量,而直接的计算又比较难时,可以考虑设变量。 [举一反三]
1.有若干4%的盐水,蒸发掉20千克水后变成10%的盐水,问:原来的盐水中含有盐多少千克? 2.有一瓶40%的酒精溶液,加入100千克水后酒精的浓度变为20%,问:原来的溶液中含有多少千克酒精?
3.在5%的糖水溶液中再加入10克糖后,糖水的浓度变为6%,问原来溶液中水的质量是多少?
[例5] 一杯盐水,第一次加入一定量的水后,盐水的含盐百分比变为15%;第二次又加入同样多的水,盐水的含盐百分比变为12%;第三次再加同样多的水,盐水的含盐百分比将变为多少?
[分析] 这道题目中盐的质量仍是一个守恒量,虽然加了三次水,但是盐的质量始终没有改变。为了解答这道题,我们先设盐的质量为x千克,然后通过第一次和第二次加水后溶液的浓度变化情况,就可以求出每次加入的水的质量:x÷12%-x÷15%=5x/3千克,所以第三次加完水后溶液的总质量为:x÷12%+5x/3=10x千克,所以最终盐的含量百分比为:x÷(10×x)=10%。我们看到,虽然我们设了一个变量x,但是并不需要解出x,这是一种很重要的方法,请读者认真的总结分析。
[解答] 设盐的质量是x千克。
那么每次加入的水的质量是:x÷12%-x÷15%=5x/3千克; 最后溶液的总质量是: x÷12%+5x/3=10x千克;
所以最后得到的溶液的含盐百分比为:x÷(10×x)=10%。 答:将变成10%。
[评析]这道题目比较难,题目中设置的变量x并不需要求出它的值(事实上我们无法求出它的值),这是一种重要的解题方法,对于这一类没有给出任何具体质量的题目,这种方法具有重要的价值。
[举一反三]
1.已知盐水若干克,第一次加入一定量的水后,盐水浓度变为3%,第二次加入同样多的水后,盐水浓度变为2%。求第三次加入同样多的水后盐水的浓度。
2.已知糖水若干克,第一次加入一定量的水后,糖水的浓度变为20%,第二次加入同样多的水后,糖水的浓度变为15%,第三次再加入同样多的水后,糖水的浓度将变为多少?
3.已知一定量的酒精溶液,加入一定量的酒精后浓度变为20%,第二次再加入等量的酒精后,酒精的浓度变为25%,第三次加入等量的酒精后,溶液的浓度将变为多少?
[例6] 某种农药是用浓度50%的药液加水配成,药液和水的重量的比为1:9,若用浓度为55%
的药液配制,则50千克水中需要加入药液多少千克?
[分析] 首先,根据题目告知的药液和水的重量比为1:9,以及药液的浓度为50%,我们就可以求出最终药液的浓度。求出最终药液的浓度之后,如果直接去计算需要加入的药液的重量的话还是比较困难,这是因为最终药液的质量是未知的。因此我们需要考虑设出需要加入的55%的药液的质量为x千克,这样最终药液的质量就是(50+x)千克,然后我们根据前后药的质量不变就可以列出方程了。
[解答] 假设药液和水的重量分别1千克和9千克,那么可以求出混合后 药液的浓度是: 1×50%÷(1+9)=5%。
设需要加入的药液质量为x千克。 根据混合前后药守恒,列出方程:(x+50)×5%=x×55% 解出:x=5(千克)
答:需要加入药液5千克。
[评析] 题目的信息比较多,一定要认真分析每个数究竟代表了什么。另外要注意,在这个题目里,溶质不是药液,而是药液中的“药”,一定不要搞错了。
[举一反三]
1.如果用浓度为10%的盐水配制某种盐水,需要的盐水和水的重量比为1:4,现在如果用20%的盐水配制这种盐水,则100千克水中需要加入20%的盐水多少千克?
2.有一种糖水产品可以用浓度为15%的糖水加水制成,糖水与水的质量比是2:8;现在要用浓度为20%的糖水来制100千克的糖水产品,需要加入多少千克浓度为20%的糖水?
3. 用甲乙丙三种盐水来制取盐水丁,其中甲的浓度是10%,乙的浓度是20%,丙的浓度是30%。当用重量比为1:1的甲乙两种盐水混合时,可以得到盐水丁;如果要用甲和丙来制取丁盐水,需要在100千克甲盐水中加入多少千克丙盐水?
[本章小结]
通过前面几个环节的学习,相信大家对于解答浓度问题已经是胸有成竹了吧!下面我们一起来总结一下这一章的内容吧。
浓度问题一直是考试的热点,因为各种各样的浓度题层出不穷,变化多端,能够很好的考察学生的思考能力。但是其实千变万变,根本不变。我们只要抓住了问题中的不变量,也就抓住了解答问题的金钥匙;同时,我们要把[知识精要]里列出的四个公式记牢记准,这样做题时才能够得心应手。
那么都有哪些基本类型的浓度题呢?在[知识精要]里我们练习了六种类型的浓度题。第一种是由一种浓度的溶液经过蒸发等途径使得其浓度变大,在这个过程中,前后溶质的质量是不变的,根据溶质的质量和浓度就可以求出最后溶液的重量;第二种是用两种重量、浓度都已知的溶液混合,求最后溶液的浓度,这时只要分别求出溶质的质量和、溶液的质量和,然后相除就可以求出混合溶液的浓度了;第三种是用两种浓度已知的溶液配制一种已知浓度的溶液,要求出两种溶液的重量比,这时应该设出其中一种溶液的质量,然后根据溶质的质量在混合前后相等来列出等式,进而求出两种溶液的重量比;第四种是开始溶液的质量并不知道,只知道浓度,然后加入一定质量的水后,浓度发生了改变,通过前后浓度和加入水的质量来求原来溶液的质量,这时可以先设出原来溶液的质量,然后根据加水前后溶质的质量不变列出方程,问题就可以解答了;第五种题目中没有出现具体的质量,只是告诉两次加入同等重量的水后溶液的浓度,然后要求第三次加入同样质量的水后溶液的浓度,这时要设出溶质的质量,然后根据前两次加水后的浓度分别求出当时的溶液质量,这样便求出每次加入的水的重量,于是最终的浓度也就可以求出了,这里需要注意盐的质量并不要求出;第六种是两种溶液按照某种比例混合来配制某种比例的溶液,然后用另外两种溶液来配制同一种溶液,这时只要根据前两种溶液的情况求出产品的浓度,然后就易于求解了。
溶液的重量、溶质的中重量和浓度这三个量,我们只要知道其中两个就可以求出第三个;有时
候题目只告诉了其中的一个,这个时候我们就得考虑是不是要设未知数x。另外,无论是向溶液中加减水,还是加减溶质,始终有一个量是不变的,抓住这个不变量是解题的关键。但是如果是两种不同浓度的溶液混合,那么虽然每一个量都发生了变化,但是两种溶液的重量和、两种溶质的质量和是不变的。
最后要提醒小读者的是,浓度的题千变万化,不可能把它们都做完一遍,但是只要掌握了基本知识,那么我们仍然可以胸有成竹,题目纵然有七十二般变化也逃不出我们的手掌心! [自测练习]
1. 把50克纯净白糖溶于450克水中得到浓度多大的糖水?
2. 小明家要配制浓度为5%的盐水50千克给水稻浸种,怎样配制? 3. 2千克浓度为5%的葡萄糖溶液中含蒸馏水多少千克?
4.有浓度为14%的生理盐水500克和浓度为8%的生理盐水250克,两种盐水混合后,浓度是多少?
5. 一个容器里装有10升纯酒精,倒出1升后,用水加满,再倒出1升,用水加满,再倒出1升,用水加满,这时容器内的酒精溶液的浓度是?
6. 有若干千克4%的盐水,蒸发了一些水分后变成了10%的盐水,再加300克4%的盐水,混合后变成6.4%的盐水,问最初的盐水是多少千克?
7. 有A、B、C三种盐水,按A与B的数量之比为2:1混合,得到浓度为13%的盐水;按A与B的数量之比为1:2混合,得到浓度为14%的盐水;按A、B、C的数量之比为1:1:3混合,得到浓度为10.2%的盐水,问盐水C的浓度是多少?
8. 有甲乙两种糖水,甲含糖270克,含水30克,乙含糖400克,含水100克,现要得到浓度是82.5%的糖水100克,问每种应取多少克?
9.A、B、C三个试管盛水若干克,现将浓度为12%的盐水10克倒入A管中,混合后取出10克倒入B管中,混合后再取出10克倒入C管中,结果A、B、C三个试管中盐水的浓度分别为6%、2%、5%三个试管原盛水最多的是哪个试管,盛多少克?
10.现有浓度为75%和45%的酒各一种,现要配制含酒精65%的酒300克,应当从这两种酒各取多少克?
11.在浓度为15%,重量为200克的糖水中,加入多少克水能得到浓度为10%的糖水?
12.已知甲酒精纯酒精含量为72%,乙酒精纯酒精含量为58%,两种酒精混合后纯酒精含量为62%。如果每种酒精取的数量都比原来多15升,混合后纯酒精含量变为63.25%,那么第一次混合时,甲酒精取了多少升?
13. 有浓度为2.5%的盐水200克。为了制成浓度3.5%的盐水,从中要蒸发掉多少克的水? 14.从装满100克浓度为80%的盐水杯中倒出40克盐水,再用清水将杯加满;再倒出40克盐水,然后再用清水将杯加满,如此反复三次后,杯中留水的浓度是多少?
15. 有A,B,C三种管子,A管以每秒4克的流量流出含盐20%的盐水,B管以每秒6克的流量流出含盐15%的盐水,C管以每秒10克的流量流出水。但C管打开后开始2秒不流,接着流5秒,然后又停2秒,再流5秒.......现三管同时打开,1分钟后都关上。这时得到的混合溶液中含盐百分之几?
16. 甲容器中有浓度为4%的盐水150克,乙容器中有某种浓度的盐水若干,从乙容器中取出450克盐水放入甲容器中混合成浓度为8.2%的盐水。求乙容器中盐水的浓度?
17. 有浓度为20%的盐水600克,加入浓度为5%的盐水多少克可配置浓渡为15%的盐水溶液? 18. .A杯盛有100克纯酒精,B杯盛有100克纯水,将A中纯酒精B中若干克,混合后再将B中溶液倒入A若干克,使两杯仍各有00克,此时测得A中有20克水,求B中酒精占溶液的几分之几?
19. .20%的酒精与5%的酒精相混合,要配制成15%的酒精900克,需要这两种酒精溶液各多
少克?
20. .A容器中有含盐13%的盐水300克,B容器中有含盐7%的盐水700克,分别从AB容器中取出等量的盐水,把从A中取出的倒入B,把B中取出的倒入A;现在AB两容器中盐水浓度相同,问分别从两中取出多少克盐水?