det(L?)?det((D??L)?1)det((1??)D??U)?(1??)n，因此1???1，即：
0???2。
此结果表明要使SOR法收敛，松弛因子?必须在?0,2?中。那么，反过来，若选取?在?0,2?中，SOR法是否一定收敛呢？
定理6.3.15 （充分条件）若A为对称正定矩阵，且0???2，则解(6.3.12)的SOR法必收敛。
证明 若能证明在定理条件下，对L?的任一特征值?有：?1???1，则定理得证。事实上，设y为对应?的L?的特征向量。即：
?1（D??L）（（1??）D??U）y??y。 L?y??y,y?(y1,y2,???yn)T?0，即
亦即：?(1??)D??U?y??(D??L)y，为找?的表达式，考虑内积：
???(1??)D??U?y,y?????(D??L)y,y?，则有：
??而：
?Dy,y????Dy,y????Uy,y? ?Dy,y????Ly,y?n2 ?Dy,y???aiiyi???0 (6.3.19)
i?1设??Ly,y????i?，由于A?AT则U?LT，从而：
-(Uy,y)??(y,Ly)??(Ly,y)???i?
0?(Ay,y)?((D?L?U)y,y)???2? (6.3.20)
因此：
?????????i??? ??(????)?i??从而：
2??????????2?2? (6.3.21) ??2222(????)???2当0???2由(6.3.20)，(6.3.21)有：
????????????????2??????2?????2??0
从而由(6.3.21)可知??1，故SOR收敛。
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6.4 关于回归模型的求解
在6.1的问题中，令，
?120400??1.18??125625??1.70??????130900??1.65?????13512251.55?????1401600??1.48???????0?1502500??1.40? ?=??? X?? Y??1603600??1.30??1????????2??16542251.26?????1704900??1.24??????1755625??1.21?????18064001.20???????1.18???1908100??则可以得到一个线性方程组：?XTX???XTY 令
64040100??12?17??，b?XTY??851?
A?XTX??64040100277900???????401002779000204702500???51162??用Gauss-Seidel迭代法：
1??k?1??k??k???17?640??40100?123?12?1?k?1??k????851?640x1?k?1??277900x3?2,k?0,1,240100???k?1?1?k?1???51162?40100?1?k?1??2779000x2?3204702500???????
??用MATLAB编写Gauss-Seidel迭代法的程序，经过5000次迭代得到结果如下：
?T?(2.19826629,?0.02252236,0.00012507)
所以二次回归模型为：y?2.19826629?0.02252236x?0.00012507x2。
习 题 6
1．取初始向量X(0)=(0,0,0)T,用雅可比迭代法求解线性方程组
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?x???x???x?????x??x??x??? ??x??x?x??????2．用Gauss-Seidel迭代法解线性方程组：
?x1?5x2?x3?x4??1 ?x?2x?x?3x=3 ?1234 ? 3x?8x?x?x=1 234?1??x1?9x2?3x3?7x4=7 3．取??1.4,x(0)?(1,1,1)T，用SOR迭代法解线性方程组：
?1?2x1?x2???x1?2x2?x3?0 ??x?2x?1.823?
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回归问题——线性方程组求解的迭代法
