高中数学选修1-2
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
一、学习目标
1．理解复平面、实轴、虚轴等概念．
2．理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数以及它们之间的一一对应关系．(重点)
3．理解复数模的概念，会求复数的模．(难点) 二、自主学习
阅读教材内容，完成下列问题． 1．复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做 ，y轴叫做 ，实轴上的点都表示实数，除了 外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2．复数的几何意义
一一对应
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)――――→ ． 一一对应→
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) ――――→ 平面向量OZ.
→
为方便起见，我们常把复数z＝a＋bi说成点 或说成向量OZ，并且规定，相等的向量表示 复数． 3．复数的模
→
向量OZ的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作 或 ，且r＝a2＋b2(r≥0，且r∈R)． 预习自测
1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( ) (2)复数的模一定是正实数．( ) (3)复数z1>z2的充要条件是|z1|>|z2|.( ) 三、合作探究
探究1：复数与复平面内点的关系
例1 已知复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i，其中a∈R.当复数 在复平面内对应的点满足下列条件时，求a的值(或取值范围)． (1)在实轴上；
(2)在第三象限；(3)在抛物线y2＝4x上．
归纳总结：复数与点的对应关系及应用
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(1)复平面内复数与点的对应关系的实质是：复数的实部就是该点的横坐标，虚部就是该点的纵坐标．
(2)已知复数在复平面内对应的点满足的条件求参数的取值范围时，可根据复数与点的对应关系，建立复数的实部与虚部满足的条件构成的方程(组)或不等式(组)，通过解方程(组)或不等式(组)得出结论． 跟踪训练
1．在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应点： (1)在虚轴上； (2)在第二象限；
(3)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围.
探究2：复数与向量的对应关系
→→
例2 (1)已知复数z1＝－3＋4i，z2＝2a＋i(a∈R)对应的点分别为z1和z2，且OZ1⊥OZ2，则a的值为_______．
→→
(2)已知向量OA对应的复数是4＋3i，点A关于实轴的对称点为A1，将向量OA1平移，使其起点移动到A点，这时终点为A2. →
①求向量OA1对应的复数； ②求点A2对应的复数．
归纳总结：
1．根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点为原点时，向量的终点对应的
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复数即为向量对应的复数．反之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．
2．解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化． 跟踪训练
→→
2．在复平面内，O是原点，若向量OA对应的复数 的实部为3，且|OA|＝3，如果点A关于→
原点的对称点为点B，求向量OB对应的复数．
探究3：复数模的几何意义及应用
探究1 若z∈C，则满足|z|＝2的点 的集合是什么图形？
探究2 若z∈C，则满足2<|z|<3的点 的集合是什么图形？
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例3 已知复数z1＝－3＋i，z2＝－－i.
22(1)求|z1|与| z2|的值，并比较它们的大小；
(2)设复平面内，复数z满足|z2|≤|z|≤|z1|，复数z对应的点 的集合是什么？
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高中数学选修1-2精品学案5：3.1.1 数系的扩充和复数的概念
