2020年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题（高二年级）
说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。
一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）
uuuruuuruuuruuur1．已知P是△ABC所在平面上一点，满足PA?PB?2PC?3AB，则△ABP与△ABC的面积之比为
1:2．
a1?2,a2?1,anan?1an?2?an?an?1?an?2(n?N*)，2．已知数列{an}满足：则a1?a2?L?a2011?
4022 ．
3．已知??R，如果集合{sin?,cos2?}?{cos?,sin2?}，则所有符合要求的角?构成的集合为{?|??2k?,k?Z}．
4．满足方程x2?8xsin(xy)?16?0（x?R,y?[0,2?)）的实数对(x,y)的个数为 8 ．
15．设z是模为2的复数，则|z?|的最大值与最小值的和为 4 ．
z36．对一切满足|x|?|y|?1的实数x,y，不等式|2x?3y?|?|y?1|?|2y?x?3|?a恒成
2立，则实数a的最小值为
232．
7．设集合A?{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.如果方程x2?mx?n?0（m,n?A）至少有一个根
x0?A，就称该方程为合格方程，则合格方程的个数为 23 ．
8．已知关于x的方程|x?k|?的取值范围是
0?k?12kx在区间[k?1,k?1]上有两个不相等的实根，则实数k2．
二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）
19．已知二次函数y?f(x)?x2?bx?c的图象过点（1，13），且函数y?f(x?)是偶函
2数.
（1）求f(x)的解析式；
（2）函数y?f(x)的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.
为
1解 （1）因为函数y?f(x?)是偶函数，所以二次函数f(x)?x2?bx?c的对称轴方程
21，故. x??b?12------------------------------------------4分
又因为二次函数f(x)?x2?bx?c的图象过点（1，13），所以1?b?c?13，故c?11. 因
此
，
f(x)的解析式为f(x)?x2?x?11.
------------------------------------------8分
（2）如果函数y?f(x)的图象上存在符合要求的点，设为P(m,n2)，其中m为正整数，
n为自然数，则m2?m?11?n2，从而4n2?(2m?1)2?43，即[2n?(2m?1)][2n?(2m?1)]?43.
------------------------------------------12分
注意到43是质数，且2n?(2m?1)?2n?(2m?1)，2n?(2m?1)?0，所以有
?2n?(2m?1)?43,?m?10,解得 ???2n?(2m?1)?1,?n?11.因此，函数y?f(x)的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）.---------------------16分
2an110．已知数列{an}满足a1?,an?1?an?2(n?N*).证明：对一切n?N*，有
3n（1）an?an?1?1； （2）an?11?． 24n2an解 （1）显然，an?0，所以an?1?an?2?an（n?N*）.
n2ak1111??2. ，ak?1?ak?2?ak?2akak?1，所以
akak?1kkk所以，对一切k?N--------------------5分
所以，当n?2时，
*n?1n?111n?1111n?11111???(?)???2?3?[1??]?3?[1??(?)] ana1k?1akak?1a1k?1kkk?2k(k?1)k?2k?1?3?[1?1?1n]??1， n?1n?1所以an?1. 又a1?1?1，故对一切n?N*，有an?1.因此，对一切n?N*，有an?an?1?1. 3-------------10分
2akakk21111ak?1，（2）显然a1????.由an?1，知ak?1?ak?2?ak?2，所以ak?2kkk?13424所以
2ak1k21111?2ak?1?ak?2?ak?2ak?2ak?1?ak?2akak?1，所以?，
akak?1k?1kkk?1k?1------------------------------------------15分
所以，当n?N*且n?2时，
n?1n?111n?1111n?11111???(?)???2?3???3??(?) ana1k?1akak?1a1k?1k?1k(k?1)kk?1k?1k?112n?1， ?3?(1?)?nn所以
an?n1111????2n?122(2n?1)24n.
------------------------------------------20分
21x2y2,?)而不过点Q(2,1)的动直线l交椭圆C于A、?1，11．已知椭圆C：?过点P(3342B两点.
（1）求∠AQB；
（2）记△QAB的面积为S，证明：S?3．
解 （1）如果直线l的斜率存在，设它的方程为y?kx?b，因为点P在直线l上，所以
121??k?b，故b??(2k?1). 333联立直线l和椭圆C的方程，消去y，得(2k2?1)x2?4kbx?2b2?4?0.
2b2?44kb设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1?x2??2，x1x2?2，
2k?12k?14k2b2by1?y2?k(x1?x2)?2b??2?2b?2，
2k?12k?12b2?44kby1?y2?(kx1?b)(kx2?b)?kx1x2?kb(x1?x2)?b?k?2?kb?(?2)?b2
2k?12k?1222b2?4k2?2k2?1
------------------------------------------6分
uuuruuur因为QA?(x1?2,y1?1)，QB?(x2?2,y2?1)，所以
uuuruuurQAgQB?(x1?2,y1?1)g(x2?2,y2?1)?(x1?2)(x2?2)?(y1?1)(y2?1)
?x1x2?2(x1?x2)?2?y1y2?(y1?y2)?1
2b2?44kbb2?4k22b?2?2?(?2)?2???1 2k?12k?12k2?12k2?12k?1112?2[(2k?1)2?2k2?(2k?1)(22k?1)?1] 2k?133?12[3b2?2k2?2b(22k?1)?1]
＝0， uuuruuurQA?QB所以，显然A、Q、B三点互不相同，所以∠AQB＝90°. 如果直线l的斜率不存在，则A、B两点的坐标为(成立.
因
此
，
∠
AQB
＝
90
°
217,?)，容易验证∠AQB＝90°也33.
------------------------------------------12分
（2）由（1）知∠AQB＝90°，所以△QAB是直角三角形.
如果直线QA或QB的斜率不存在，易求得△QAB的面积为S?22?3.
如果直线QA和QB的斜率都存在，不妨设直线QA的方程为y?m(x?2)?1，代入椭圆C的方程，消去y，得(2m2?1)x2?4m(2m?1)x?2(2m?1)2?4?0，则
4m(2m?1)22(2m?1)2?48?|2m?1|2. |QA|?m?1?[]?4??m?1?2222m?12m?12m?12又QB⊥QA，所以，同理可求得
|QB|?(?12)?1?m8?|2?(?1)?1|8?|2?m|m?m2?1?212m?22(?)?1m.
--------------------------16分
于是，△QAB的面积为
S?118?|2m?1|8?|2?m|2|QA|g|QB|??m2?1??m?1? 22222m?1m?21?m2m|2?2?2|2|2m?1|?|2?m||2(1?m)?m|22m?1m?1. ?4??4?(m?1)??4?(m?1)?22222m(2m?1)(m?2)2(m?1)?m2?(2)2m?11|2cos??sin?|21?m2m2?cos?,2?sin?，则S?4?令2.
1m?1m?12?sin2?411131注意到|2cos??sin?|?2??|sin(???)|?2??，2?sin2??2，且等号不能
24424同时取得，所以
3S?4?2?32.
------------------------------------------20分
2020年全国高二数学 联合竞赛预赛试题(湖北省)新人教版
