2021届新高考版高考数学考点通关提升训练
第八章 立体几何
第四讲 直线、平面垂直的判定及性质
1.[多选题]下列说法正确的是( ) A.垂直于同一个平面的两条直线平行
B.若两个平面垂直,则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直 C.一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行,则这两个平面平行 D.一条直线与一个平面内的无数条直线垂直,则这条直线和这个平面垂直
2.[2020合肥市调研检测]已知m,n为直线,α为平面,且m?α,则“n⊥m”是“n⊥α”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.[2019全国卷Ⅲ]如图8 - 4 - 1,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则( ) A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线 B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线 C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线 D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线
4.[2017全国卷Ⅲ]在正方体ABCD - A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则( ) A.A1E⊥DC1
B.A1E⊥BD
C.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC
5.[2020湖南省岳阳市三校第二次联考]如图8 - 4 - 2,在三棱锥V - ABC中,VO⊥平面ABC,O∈CD,VA=VB,AD=BD,则下列结论中不一定成立的是( ) A.AC=BC B.AB⊥VC C.VC⊥VD
D.S△VCD·AB=S△ABC·VO
6.[2019北京高考]已知l,m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断: ①l⊥m; ②m∥α; ③l⊥α.
以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题: .
7.[2019北京高考]如图8 - 4 - 3,在四棱锥P - ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形,E为CD的中点.
(1)求证:BD⊥平面PAC;
(2)若∠ABC=60°,求证:平面PAB⊥平面PAE;
(3)棱PB上是否存在点F ,使得CF ∥平面PAE?说明理由.
图8 - 4–3
考法1线面垂直的判定与性质
1如图8 - 4 - 4,在直三棱柱ABC - A1B1C1中,AB=AC=AA1=3,BC=2,D是BC的中
点,F 是CC1上一点.
(1)当CF =2时,证明:B1F ⊥平面ADF ; (2)若F D⊥B1D,求三棱锥B1 - ADF 的体积.
(1)证明B1F 与两直线AD,DF 垂直,利用线面垂直的判定定理得出B1F ⊥平面ADF ;(2)
若F D⊥B1D,则Rt△CDF ∽Rt△BB1D,可求DF ,即可求三棱锥B1 - ADF 的体积.
(1)因为AB=AC,D是BC的中点,所以AD⊥BC.(等腰三角形底边中线与底边高线重合) 在直三棱柱ABC - A1B1C1中,因为BB1⊥底面ABC,AD?底面ABC,所以AD⊥B1B. 因为BC∩B1B=B,所以AD⊥平面B1BCC1. 因为B1F ?平面B1BCC1,所以AD⊥B1F .
由题意,可知C1F =CD=1,B1C1=CF =2,∠B1C1F =∠F CD=90°,
所以Rt△DCF ≌Rt△F C1B1,所以∠CF D=∠C1B1F ,所以∠B1F D=90°,(利用平面几何知识找垂直) 所以B1F ⊥F D.
因为AD⊥B1F ,B1F ⊥F D,AD,F D?平面ADF ,且AD∩F D=D,所以B1F ⊥平面ADF .(线面垂直的判定定理) (2)由(1)知AD⊥平面B1DF ,CD=1,AD=2在Rt△B1BD中,BD=CD=1,BB1=3, 所以B1D=
.
,
因为F D⊥B1D,所以Rt△CDF ∽Rt△BB1D, 所以
,即DF =×
,
所以×AD=××××2.
1.[2020陕西省部分学校高三测试]如图8 - 4 - 5,在三棱
柱ABC - A1B1C1中,AC⊥BC,AB⊥BB1,AC=BC=BB1=2,D为AB的中点,且
2021届新高考版高考数学考点通关提升训练：第八章第四讲 直线、平面垂直的判定及性质
