t?211，???????????12分 ?(2)2??51?t1002(t?2??4)t?2523,t?[3,4]是减函数，上述式子在t?3,a??,b??时取等号，故a2?b2的因为t?2?t?225501最小值为。????????????????????????17分
100于是a2?b2解法2 把等式看成关于a,b的直线方程:(x2?1)a?2xb?x?2?0，利用直线上一点（a,b）到原点的距离大于原点到直线的距离，即
20. 解：首先， aia?b?22x?2(x?1)?(2x)222（以下同上）。
?(x?1)2x2012?1?(i?1)x2013， -----------------2分
1?xi?1bi?(x?1)x2013()?(x?1)ix2014?i。-----------------4分
x
1?xibi?1?bi?x2013()????????????????6分
x2014?i,1?i?2013。 用归纳法证明 ai?bi?x20132013
由于a1?b1?x2013?x2012?1?x2013，即i=1成立。????????8分 假设 1?i?2012成立，
则ai?1?bi?1?(ai?1?ai)?(bi?1?bi)?(ai?bi)?x2013?x2013(
1?xi)?(ai?bi) x1?x2031?x2013?x2013()?(ai?bi)??x2013?(ai?bi)
x201312013?i?12014?(i?1)??x2013?x2013?x2013。???????14分
201320132013所以，ai?bi,i?1,2,?,2013。
归纳证明bi?1?ai,i?1,2,?,2012，首先 b2?a1?1?0，假设 1?i?2011成立， 则
1?xi?12013)?x?(bi?1?ai)?0。??bi?2?ai?1?(bi?2?bi?1)?(ai?1?ai)?(bi?1?ai)?x2013(x??????????????17分
故命题成立。
四、附加题：（本大题共有2小题，每题25分，共50分。）
解答 原命题等价于(a3?b3?c3)(a2?b2?c2)?9，????????????10分
a2?b2?c23),???????????????????20分 又(a?b?c)?9(33332故只需要证明a2?b2?c2?3成立。???????????????????25分
利用已知条件，这是显然的。
22. 解答 对图1，上述填法即为完美（答案不唯一）。????????????10分
对于图2不存在完美填法。因为图中一共有10条连线，因此各连线上两数之差的绝对值恰好为，1,2,3，??，10， ????? ?????????????????? 15分 其和s?a1?a2?a1?a3?a2?a3???a7?a8?55为奇数。?????? 20分
另一方面，图中每一个圆圈所连接的连线数都为偶数条。即每一个圆圈内德数在上述S的表达式中出现偶数次。因此S应为偶数，矛盾。???????????????25分 所以，不存在完美填法。
2013年浙江省高中数学竞赛试题
