2013年浙江省高中数学竞赛试题
一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）
1.集合P?{x（ ） x?R,x?1?1}，Q?{xx?R,x?a?1},且P?Q??,则实数a取值范为
A. a?3 B. 2.若?,??R, 则???a??1. C. a??1或 a?3 D. ?1?a?3
?90?是sin??sin??1的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.已知等比数列{an}：a1A. 3981 B.
?3,且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项是（ ）
3781 C. 39 D. 33 24. 已知复数z?x?yi(x,y?R,i为虚数单位），且z A.z?2?2i B. C.
?8i，则z?（ ）
z??2?2i
z??2?2i,或z?2?2i D. z?2?2i,或z??2?2i
25. 已知直线AB与抛物线y?4x交于A,B两点，M为AB的中点，若C0 C为抛物线上一个动点，
开 始 ??????????????????满足C0A?C0B?min{CA?CB}，则下列一定成立的是（ ）。 A. C.
C0M?AB B. C0M?l,其中l是抛物线过C0的切线 1C0A?C0B D. C0M?AB
2K=1，S=0
6. 某程序框图如下，当E?0.96时， 则输出的K=（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 25
7. 若三位数abc被7整除，且a,b,c成公差非零的等差数列， 则这样的整数共有（ ）个。 A.4 B. 6 C. 7 D 8
S=S+1/（K(K+1)） S>=E？ 是 否 K=K+1 输出K 8. 已知一个立体图形的三视图如下， 则该立体的体积为（ ）。
A.33 B.
33 2C.
9393 D. 249. 设函数
f(x)?x(x?1)2(x?2)3(x?3)4，
f(x)的极大值点为（ ）
则函数y? A.x?0 B. x?1 C. x?2 D. x?3
10. 已知
f(x),g(x),h(x)为一次函数，若对实数x
??1,x??1?满足f(x)?g(x)?h(x)??3x?2,?1?x?0，则h(x)的表达式为（ ）。
??2x?2,x?0?A.h(x)?x? B.h(x)??x? C.h(x)??x? D.h(x)?x?
二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后 的横线上，每空7分，共49分） 11. 若tanxtany?2,sinxsiny?12. 已知
121212121，则x?y?_________________。 3f(x)?x2?(k?1)x?2，若当x?0时f(x)恒大于零，则k的取值范围为________ 。 n},n?1,2,?，则数列中最大项的值为___________。
13. 数列{n14. 若x,y?R，满足2x?2x2y2?2y(x?x2)?x215. 设直线l与曲线y?x3?5，则x＝ ,y＝ 。
?x?1有三个不同的交点A,B,C,且AB?BC?5, 则直线l的方程为___。
11?2)}?________________________。 2ab17. 某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动（含第一象限x,y轴上的整点），其运动规律为：
16. 若a?0,b?0,则min{max(a,b,(m,n)?(m?1,n?1)或(m,n)?(m?1,n?1)。若该动点从原点出发，经过6步运动到（6,2）点，
则有_____________种不同的运动轨迹。
三、解答题（本大题共有3小题，每题17分，共51分）
18. 已知抛物线y2?4x，过x轴上一点K的直线与抛物线交于点P、Q两点。证明，存在唯一一点
K，使得
11为常数，并确定K点的坐标。 ?22PKKQf(x)?ax2?(2b?1)x?a?2(a,b?R,a?0)在[3,4]上至少有一个零点，
19. 设二次函数
求a
2?b2的最小值。
2013?1?x?20. 设x?N满足???x??2014.数列a1,a2,?,a2013是公差为x2013，首项a1?(x?1)2x2012?120131?x,首项b1?(x?1)x2013的等比数列， x的等差数列； 数列b1,b2,?,b2013是公比为
求证：b1?a1?b2
21. 设a,b,c?R????a2012?b2013 。
,ab?bc?ca?3,
证明a5?b5?c5?a3(b2?c2)?b3(c2?a2)?c3(a2?b2)?9。
22. 从0,1,2，?，10中挑选若干个不同的数字填满图中每一个圆圈称为一种“填法”，若各条线段相连的两个圆圈内的数字之差的绝对值各不相同，则称这样的填法为“完美填法”。
试问：对图1和图2是否存在完美填法？若存在，请给出一种完美填法；若不存在，请说明理由。 A1 A2 6 10 A3 A4 5 A5 7 A7 1 9 A6 A8
（图 1 ）
(图2)
2013年浙江省高中数学竞赛试题解析
一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）
1.答案 C
P?{x0?x?2},Q?{xa?1?x?a?1},要使P?Q??，则a?1?2或a?1?0。
解得a??1或 a?3。 2.答案 D 若??0,?但????90??sin??sin??1。当????60??sin??sin??3?1，
?90?。
273.答案 B 计算得q?34. 答案 D
,a3?3781。
?????????????????????????????????2?????????????????????????5. 答案 B CA?CB?(CM?AM)?(CM?BM)?CM?CM(AM?BM)?AM?BM
??????2?????2??????????????CM?AM?min{CA?CB}?CMmin?CM?l。
6. 答案 C
S?111????1?22?3k?k(?1?1??0.9?6k?1)k?12 4.?0),
7. 答案 D 设三位数为(b?d)b(b?d)?111b?99d(0?b?9,?9?d?9,d由7(111b?99d)?7(b?d)?b?1,d??1;b?2,d??2;b?3,d??3;b?4,d?3,?4;
b?5,d?2;b?6,d?1;b?8,d??1。所以，所有的三位数为 210,420,630,147,840,357,567,987
8. 答案 D 从图中可知，立体是由两个三棱柱组成。
9. 答案 B 由图象可知x?1为函数极大值点，x?3是极小值点，x?0,2不是极值点。 10. 答案 C
h(x)??2x?2?(?1)1??x?。
221x2,?syin?sinx31?y61cx?o，sy?所以2
二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后 的横线上，每空7分，共49分） 11.解答：由
taxnty?anc?oscos(x?y?2k??
12.解答 由x2?3。
22?(k?1)x?2?0?k?1?x?,x??22等号在x?2取得，即k?22?1。
xx13.解答
f(x)?x?e1x1lnxx?f/(x)?x(1?lnx)?x?e为极大值点，所以数列最大项为第三2x1x项，其值为33。
14.解答 把等式看成关于x的一元二次方程
2??4(y?1)2?20(2y2?2y?1)?0?(3y?2)2?0?y??,x?3。
315. 解答 曲线关于（0,1）点对称，设直线方程为y?kx?1,A(x,y)，
?y?kx?1??则?y?x3?x?1?(k?2)(k2?k?2)?0?k?2。所求直线方程为y?2x?1。 ?22??x?(y?1)?511112?}?m?a?m,b?m,??m?m??m?32， 22222ababm11所以min{max(a,b,2?2)}?32。
ab16.解答
max{a,b,17.解答
21C6?C6?9.
三、解答题（本大题共有3小题，每题17分，共51分）
18.解答 设K（a,0），过K点直线方程为y?k(x?a)，交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程
?y2?4x2(ak2?2)222222?kx?2(ak?2)x?ak?0?x1?x2?,xx?a组??5分 122ky?k(x?a)?2?PK2?(x1?a)2?y12,KQ2?(x2?a)2?y2??????????????7分
a21?k11???222，????????????????????12分 22a(1?k)PKKQ令a?2?
19.解法1 由已知得，设t为二次函数在[3,4]上的零点，则有at2111??,K(2,0)。????????????????17分 224PKKQ?(2b?1)t?a?2?0，变形
(2?t)2?[a(t2?1)?2bt]2?(a2?b2)((t2?1)2?t2)?(a2?b2)(1?t2)2，??5分
2013年浙江省高中数学竞赛试题
