第3讲 二项式定理
一、知识梳理 1．二项式定理 (1)定理：
n1n1b＋…＋Ckankbk＋…＋Cnbn(n∈N*)． (a＋b)n＝C0na＋Cnann
－
－
(2)通项：
nkk
第k＋1项为Tk＋1＝Ckb． na－
(3)二项式系数：
二项展开式中各项的二项式系数为：Ckn(k＝0，1，2，…，n)． 2．二项式系数的性质
常用结论 1．两个常用公式
0＋C1＋C2＋…＋Cn＝2n. (1)Cnnnn
0＋C2＋C4＋…＝C1＋C3＋C5＋…＝2n－1. (2)Cnnnnnn
2．二项展开式的三个重要特征 (1)字母a的指数按降幂排列由n到0. (2)字母b的指数按升幂排列由0到n.
(3)每一项字母a的指数与字母b的指数的和等于n. 二、教材衍化
1．(1＋2x)5的展开式中，x2的系数为________．
kkkk222解析：Tk＋1＝Ck5(2x)＝C52x，当k＝2时，x的系数为C5·2＝40.
答案：40
1
x＋?展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________． 2．若??x?解析：二项式系数之和2＝64，所以
n
6－k·n＝6，Tk＋1＝Ck6·x
n
?1?＝Ck6－2k，当6－2k6xx??k
＝0，即当k＝3时为常数项，T4＝C36＝20.
答案：20
3．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为________．
解析：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8.
答案：8
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
nrr
(1)(a＋b)n的展开式中的第r项是Crb.( ) na
－
(2)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( ) (3)在(a＋b)n的展开式中，每一项的二项式系数与a，b无关．( )
nrr(4)通项Tr＋1＝Crb中的a和b不能互换．( ) na
－
(5)(a＋b)n展开式中某项的系数与该项的二项式系数相同．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× 二、易错纠偏
常见误区| (1)混淆“二项式系数”与“系数”致误； (2)配凑不当致误．
2
x2－?，的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数1．在二项式?x??的和为________．
解析：由题意得2n＝32，所以n＝5.令x＝1，得各项系数的和为(1－2)5＝－1. 答案：－1
2．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8＝________． 解析：因为(1＋x)10＝[2－(1－x)]10，所以其展开式的通项为Tr＋1＝(－1)r210－r·Cr10(1－x)r，令r＝8，得a8＝4C810＝180.
答案：180
3．(x＋1)5(x－2)的展开式中x2的系数为________．
n
解析：(x＋1)5(x－2)＝x(x＋1)5－2(x＋1)5展开式中含有x2的项为－20x2＋5x2＝－15x2.故x2的系数为－15.
答案：－15
考点一 二项展开式的特定项(系数)(基础型)
复习指导| 能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
核心素养：数学抽象、数学运算
角度一 求解形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与 特定项相关的量
1??x－ (1)在的展开式中，x2的系数?2x?
5
为________．
1
(2)在二项式?ax2＋?的展开式中，若常数项为－10，则a＝________．
x??
5
1?1??1?r3r5－r?－【解析】 (1)?x－的展开式的通项Tr＋1＝Cr＝?－2?C5x5－，令55x2?2x??2x?
5
r
r
1?253?22－r＝2，得r＝2，所以x的系数为C5?－2?＝.
22
11?5r5r2)5－r×?5－rx10－，令10－＝0，(2)?ax2＋?的展开式的通项Tr＋1＝Cr(ax＝Cr55a22x???x?
5
r
4a54＝－10，解得a＝－2. 得r＝4，所以C5
－
5
【答案】 (1) (2)－2
2
求二项展开式中的特定项的系数问题的步骤
(1)利用通项将Tk＋1项写出并化简．
(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k.
(3)代回通项得所求．
角度二 求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的 展开式中与特定项相关的量
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