1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
目标定位 1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.2.理解二项式系数的性质并灵活运用.
自 主 预 习
1.杨辉三角的特点
(1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；
(2)在相邻的两行中，除1外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即Crn＋1＝
1rCrn＋Cn.
－
2.二项式系数的性质
对称性 在(a＋b)n展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数n－m相等，即Cmn＝Cn 增减性 与最 大值 n＋1n＋1增减性：当k＜2时，二项式系数是逐渐增大的；当k＞2时，二项式系数是逐渐减小的.最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数C，最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数Cn?12nn2n，Cn?12n相等，且同时取得最大值 各二项 式系数 的和 12nn①C0n＋Cn＋Cn＋…＋Cn＝2 24135n－1②C0 n＋Cn＋Cn＋…＝Cn＋Cn＋Cn＋…＝2即 时 自 测
1.思考题
(1)二项式系数表与杨辉三角中对应行的数值都相同吗？
提示 不是.二项式系数表中第一行是两个数，而杨辉三角的第一行只有一个数.实际上二项式系数表中的第n行与杨辉三角中的第n＋1行对应数值相等. (2)二项展开式中系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)，这种
说法对吗？
提示 错误.二项展开式中项的系数与二项式系数是不同的，二项式系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项), 但是项的系数的最大值与项其他数字因数的大小有关.
2.在(1＋x)n(n∈N*)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n等于( ) A.8
B.9
C.10
D.11
解析 由题意，展开式中只有第6项系数最大，所以展开式中共11项，n＝10. 答案 C
3.(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是( ) A.n，n＋1 C.n＋1，n＋2
B.n－1，n D.n＋2，n＋3
解析 (1＋x)2n＋1展开式有2n＋2项.系数最大的项是中间两项，是第n＋1项与
n＋1
第n＋2项，它们的二项式系数为Cn2n＋1与C2n＋1.
答案 C
?1?n
4.若?x－2?的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和
??为________. 解析
由题意，C2n＝15，解得
1?61?
n＝6，则展开式中所有项系数之和为?1－2?＝64.
??
1
答案 64
类型一 与杨辉三角有关的问题
【例1】 如图在“杨辉三角”中，斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，记其前n项和为Sn，求S19的值.
解 由图知，数列中的首项是C2第2项是C1第3项是C2第4项是C1…，2，2，3，3，
12第17项是C210，第18项是C10，第19项是C11.
21212122222∴S19＝(C12＋C2)＋(C3＋C3)＋(C4＋C4)＋…＋(C10＋C10)＋C11＝C3＋C4＋C5＋…232222232＋C211＋C11＝C3＋C3＋C4＋C5＋…＋C11－1＋C11＝C12－1＋C11＝274.
规律方法 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系.然后将数据间的这种联系用数学式表达出来，使问题得解.注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察.
【训练1】 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.
第0行1 第1行1 1 第2行1 2 1 第3行1 3 3 1 第4行1 4 6 4 1 第5行1 5 10 10 5 1
… … …
14解析 设第n行从左至右第14与第15个数之比为2∶3，则C13n∶Cn＝2∶3.
14∴3C13n＝2Cn，即
3·n！13！·（n－13）！
＝
2·n！14！·（n－14）！
，
32得：＝14，∴n＝34.
n－13答案 34
类型二 二项展开式的系数和问题
2019-2020版高中数学人教A版(浙江)选修2-3文档：1.3.2杨辉三角”与二项式系数的性质 Word版含答案
