2019-2020年高中数学 第一讲 坐标系 二 极坐标系成长训练 新人教A版选修4-4

2019-2020年高中数学 第一讲 坐标系 二 极坐标系成长训练 新人教A

版选修4-4

夯基达标

1.点P的直角坐标为(-,)，那么它的极坐标可表示为( A.(2,) B.(2,) C.(2,) D.(2,)

解析:因为点P(-,)在第二象限,与原点的距离为2,且OP的倾斜角为,故选B.这种类型的问题是极坐标这一知识点中最基本的知识,是这一章知识的基础 答案:B

2.点P(ρ0,θ0)(ρ0≠0)关于极点的对称点的极坐标是( ) A.(-ρ0,θ0) B.(ρ0,-θ0) C.(-ρ0,-θ0) D.(-ρ0,θ0+π)

解析:由ρ取负值时点的确定方法即可 答案:A

22

3.方程ρcos2θ=c(c>0)的曲线是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

222222222

解析:方程ρcos2θ=cρ(cosθ-sinθ)=cx-y=c 答案:C

2

4.曲线的极坐标方程为aρcosθ+bcosθ-sinθ=0(a≠0),则曲线是( A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

解析:将方程aρcos2θ+bcosθ-sinθ=0各项都乘以

2222

ρ,aρcosθ+bρcosθ-ρsinθ=0ax+bx-y=0y=ax+bx,是抛物线 答案:D

5.点P1(2,),P2(-3,-),则|P1P2|的值为( A. B.5 C. D.

解析:应用极坐标系中两点间的距离公式 |P1P2|=

ρ1+ρ2-2ρ1ρ2cos(θ2-θ1)(ρ1、ρ

222

其中P2(3,),代入可得

答案:A

6.已知点A(-2,-),B(2,),O(0,θ),则△ABO为( ) A.正三角形 B.直角三角形 C.锐角等腰三角形 D.等腰直角三角形 解析:点A(-2,-)即为A ∴∠AOB=,且|OB|=2,|OA ∴△ABO为等腰直角三角形 答案:D

7.直线l过点A(3,)、B(3,),则直线l与极轴夹角等于________.

解析:如图所示,先在图形中找到直线l与极轴夹角,另外要注意到夹角是个锐角.然后根据点A、B的位置分析夹角的大小

∵|AO|=|BO|=3,∠AOB=-

π-∴∠OAB=

π62

∴∠ACO=π--

答案：

8.极坐标方程ρ=所对应的直角坐标方程为________.

?ρ2?x2?y2,?解析:本题考查直角坐标与极坐标之间的互化公式,,?将ρ、θ消去,换成y?tan?=,x?0,x?字母x、y即可

因为ρ=可化为ρ=,即ρ

222

去分母,得ρ=2+ρcosθ,将公式代入得x+y=(2+x),整理可得

2

答案：y=4(x

说明：极坐标与直角坐标的互化是重点,在解这类题时,除正确使用互化公式外,还要注意与恒等变换等知识相结合.

9.已知下列各点的极坐标为A(5,),B(2,0),C(6,-π),D(-4,),E(0,),画出这些点,并求出它们的直角坐标. 解:这些点如图

利用公式即可求出它们的直角坐标为A(0,5),B(2,0),C(-33,-3),D(-23,-2),E(0,0). 10.在极轴上求与点A(4,)距离为5的点M的坐标.

解析:题目要求是点在极轴上,可设点M(r,0),由于极坐标中有一个量是关于角的,A、M两点之间的距离为5,所以可以根据余弦定理求出点M的坐标来 解:设M ∵A ∴(42)?r?82rcos2

22π=5, 4即r-

解得r=1或r ∴M点的坐标为(1,0)或

在极坐标系下,任意两点P1(ρ1,θ1),P2(ρ2,θ2)之间的距离可总结如下： |P1P2|=

ρ1+ρ2-2ρ1ρ2cos(θ1-θ2),此式可直接利用余弦定理得证.

2211.舰A在舰B的正东6 km处，舰C在舰B的北偏西30°且与B相距4 km处，它们围捕海洋动物.某时刻A发现动物信号，4秒后B、C同时发现这种信号.A发射麻醉炮弹.设舰与动物均为静止的,动物信号的传播速度是1 km/s,炮弹运行的初速度是km/s，其中g为重力加速度.若不计空气阻力与舰高，问若以舰A所在地为极点建立极坐标系，求舰A发射炮弹的极坐标.

解析:先建立直角坐标系,分析出点P在双曲线上,又在线段BC的垂直平分线上,求出交点P的坐标,然后求出P、A两点之间的距离和PA与x轴正向所成的角,即可确定点P的极坐标

解:对舰B而言,A、C两舰位置如图所示.为方便起见,取B所在直线为x轴,AB的中点O为原点建立直角坐标系,则A、B、C三舰的坐标分别为(3,0)、(-3,0)、(-

由于B、C同时发现动物信号,记动物所处位置为P,则|PB|=|PC 于是P在BC的中垂线l上,易求得其方程为x-3y

又由A、B两舰发现动物信号的时间差为4秒,知|PB|-|PA|=4,于是知P应在双曲线=1的右支上

直线l与双曲线的交点P(8,5)即为动物的位置,至此问题便可获解

据已知两点的斜率公式,得直线PA的倾斜角为60°.于是舰A发射炮弹的方位角应是北偏东30°.利用两点间的距离公式,可得|PA|=10.

所以,以舰A所在地为极点,舰A发射炮弹的极坐标为(10,).

走近高考

2

1.(经典回放)极坐标方程4ρsin=5表示的曲线是( A.圆 B.椭圆

C.双曲线的一支 D.抛物线

解析:利用半角公式把原方程化为4ρ=5,即

2222

4ρ-4ρcosθ=10,∴4ρ=4x+10.∵ρ=∴16(x+y)=(4x+10).整理,得4y-20x-25=0.∴为抛物线 答案:D

2

2.(经典回放)极坐标方程4sinθ=3表示的曲线是( A.两条射线

B.两条相交直线 C.圆 D.抛物线

2222222

解析:把原极坐标方程两边都乘以ρ,得4ρsinθ=3ρ,即4y=3(x+y),即y=±x ∴所表示的曲线是两条相交直线 答案:B

3.(经典回放)极坐标方程ρ=cos(-θ)所表示的曲线是( A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.圆

解析:利用两角差余弦公式把原极坐标方程变形为ρ=coscosθ+sinsinθ

2

两边同乘以ρ,得ρ=ρcosθ+ρsinθ

22

即x+y=x+y

22

即为x+y-x-y=0表示圆 答案:D

4.(经典回放)已知直线的极坐标方程为ρsin(θ+)=,则极点到该直线的距离是________. 解析:∵ρsin(θ+)=,∴ρsinθcos+ρcosθsin=,即x+y=1.∴原点到直线x+y=1的距离为d 答案:

5.在极坐标系中,O是极点,设点A(4,),B(5,-),则△OAB的面积是________.

解析:如图,|OA|=4,|OB|=5,∠AOB=2π--=.

∴S△OAB=×4×5×sin=5. 答案:5

2019-2020年高中数学 第一讲 坐标系 四 柱坐标系与球坐标系简介成长

训练 新人教A版选修4-4

夯基达标

1.如图,在柱坐标系中,长方体的两个顶点坐标为A1(4,0,5),C1(6,分 π2式,5),则此长方体外接球的体积为________.

解析:据顶点的柱坐标求出长方体的三度,其外接球的直径恰为长方体的对角线长由长方体的两个顶点坐标为A1(4,0,5),C1(6,π2,5), 可知OA=4,OC=6,OO1 则对角线长为

3

那么球的体积为·π·() 答案:

2.已知点M的直角坐标为(1,-3,4),则它的柱坐标为_______.

?1=ρcosθ，?解析:设点M的柱坐标为(ρ,θ,z),则?-3=ρsinθ，

?4=z?

,解之,得ρ=2,θ=,z∴点M的柱坐标为

答案:(2,,4)

3.设点M的柱坐标为(2,,7),则它的直角坐标为_______.

π?x?2cos,?6?π?解析:设点M的直角坐标为(x,y,z),则?y?2sin,∴点M的直角坐标为

6??z?7.??答案:(,1,7)

4.已知点M的球坐标为(2,,),则它的直角坐标为_______. 解析:设M的直角坐标为(x,y,z),则

∴点M的直角坐标为(-1,1,-

答案:(-1,1,-)

5.两平行面去截球，如图,在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A(25,arctan,θa)、B(25,π-arctan,θB)，

求出这两个截面间的距离.

解析:根据已知可得球半径为25,这样,我们就可以在Rt△AOO1和Rt△BOO1中求出OO1及OO2的长度来,可得两个截面间的距离为O1O2

解:由已知,OA=OB=5,∠AOO1=arctan,∠BOO1=π-arctan,在△AOO1中,tan∠AOO1== ∵OA=25,∴OO1

在△BOO2中,∠BOO2=arctan,tan∠BOO2 ∵OB=25,∴OO2 则O1O2=OO1+OO2 ∴两个截面间的距离O1O2为27.

6.在赤道平面上，我们选取地球球心O为极点，以O为端点且与零子午线相交的射线Ox为极轴，建立坐标系.有A、B两个城市，它们的球坐标分别为A(R,,)、B(R,,)，飞机应该走怎样的航线最快，所走的路程有多远？ 解析:我们根据A、B两地的球坐标找到地球的半径、纬度、经度,当飞机走AB两地的大圆时,飞机最快,所走的路程实际上是要求我们求出过A、B两地的球面距离

解:如图所示,因为A(R,,),B(R 可知∠O1AO=∠O1BO=,∴∠AO1O=∠BO1O 又∠EOC=,∠EOD=, ∴∠COD=-

∴∠COD=∠AO1B

在Rt△OO1B中,∠O1BO=,OB=R ∴O1B=O1A=R.

∵∠AO1B=,∴AB=R.

在△AOB中,AB=OB=OA=R, ∴∠AOB=.

则经过A、B两地的球面距离为R

走经过A、B两地的大圆,飞机航线最短,其距离为R.

7.结晶体的基本单位称为晶胞，图(1)是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为的小正方体堆积成的正方体），图形中的点代表钠原子，其他点代表氯原子，如图(2)，建立空间直角坐标系O—xyz后，试写出全部钠原子所在位置的球坐标、柱坐标

解析:在空间直角坐标系中,我们需要找点的(x,y,z)；在柱坐标系中,需要找到(ρ,θ,z)；在球坐标系中,需要找到(r,φ,θ

解:把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们所在位置的坐标

下层的原子全部在xOy平面上,它们所在位置的竖坐标全是0,所以这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(0,0,0),(1,,0),(,,),(1,,),(,,),它们的柱坐标分别为(0,0,0),(1,0,0),(,,0),(1,,0),(,,0)；

中层的原子所在的平面平行于xOy平面,与z轴交点的竖坐标为,所以,这四个钠原子所在位置的球坐标分别为(,,0),(,arccos,arctan),(,arccos,arctan2),(,,),它们的柱坐标分别为(,0,),(,arctan,),(,arctan2,),(,,)；

上层的钠原子所在的平面平行于xOy平面,与z轴交点的竖坐标为1,所以,这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(1,0,0),(,,0),(,arctan,),(，，),(,arctan,),它们的柱坐标分别为(0,0,1),(1,0,1),(,,1),(1,,1),(,,1).

8.距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如建筑设计中常常需要计算空间两点间的距离试用两点的坐标表示这两点间的距离. 解:(1)在平面直角坐标系中,已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),则|P1P2 (2)在空间直角坐标系中

如图,设P1(x1,y1,z1)、P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,且点P1(x1,y1,z1)、P2(x2,y2,z2)在xOy平面上的射影分别为M、N,那么M、N的坐标为M(x1,y1,0)、N(x2,y2,0),在xOy平面上,|MN 过点P1作P2N的垂线,垂足为H,则|MP1|=|z1|,|NP2|=|z2|,所以|HP2|=|z2-z1 在Rt△P1HP2中,|P1H|=|MN|=,根据勾股定理,得 |P1P2|==(x1-x2)+(y1-y2)+(z1-z2)222

因此,空间中点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)之间的距离 |P1P2|=(x1-x2)+(y1-y2)+(z1-z2)222

(3)我们来确定P1、P2两点在柱坐标系中的距离公式：

?x=ρcosθ,?根据空间点P的直角坐标(x,y,z)与柱坐标(ρ,θ,z)之间的变换公式：?y=ρsinθ,

?z=z.?P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),

有

?x1=ρ1cosθ1,??y1=ρ1sinθ1,?z=z,?112?x2=ρ2cosθ2,??y2=ρ2sinθ2,?z=z,?222可得

|P1P2|=(ρ1cosθ1-ρ2cosθ2)+(ρ1sinθ1-ρ2sinθ2)+(z1-z2) (4)我们来确定P1、P2两点在球坐标系中的距离公式：

2?x=rsinφcosθ,?空间点P的直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,φ,θ)之间的变换关系为?y=rsinφsinθ,

?z=rcosφ.??x1=r1sinφ1cosθ1,?x2=r2sinφ2cosθ2,??P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),有?y1=r1sinφ1sinθ1,及?y2=r2sinφ2sinθ2,

?z=rcosφ?z=rcosφ,12?11?22可

|P1P2|=

得

(r1sinφ1cosθ1-r2sinφ2cosθ2)2+(r1sinφ1sinθ1-r2sinφ2sinθ2)2+(r1cosφ1-r2cosφ2)2

走近高考

1.已知点P的柱坐标为(2,,5)，点B的球坐标为(6,,)，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为（ ） A.P点(5,1,1)，B点 B.P点(1,1,5)，B点 C.P点，B点 D.P点(1,1,5)，B点

解析:此题考查空间直角坐标系与空间极坐标系的互化.只要我们记住互化公式,问题就能够

?x=rsinφcos,?解决.球坐标与直角坐标的互化公式为?y=rsinφsin,

?z=rcosφ;??x=ρcosθ,?柱坐标与直角坐标的互化公式为?y=ρsinθ,

?z=z.?解:设P点的直角坐标为(x,y,z),x=·cos=·=1,y=·sin=1,z设B点的直角坐标为(x,y,z),x y=·sin·sin=··=,z=·cos=·=

所以,点P的直角坐标为(1,1,5),点B的直角坐标为().选 答案:B

2.设点M的直角坐标为(1,1,1),求它的柱坐标. 解:设M的柱坐标为(ρ,θ,z),则

?1=ρcosθ,??1=ρsinθ,解之,得ρ=,θ=,z?z=1,?

∴点M的柱坐标为(2,,1).

3.设点M的直角坐标为(1,1,2),求它的球坐标. 解:设M的球坐标为(r,φ,θ),则

r=x2+y2+z2=1+1+(2)2由rcosφ=z,得2cosφ ∴φ=.

又tanθ==1,∴θ ∴点M的球坐标为(2,,).