练习一 多元正态分布的参数估计
1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。
2.设二维随机向量(X13.已知随机向量(X1X2)?服从二元正态分布，写出其联合分布。 X2)?的联合密度函数为
f(x1,x2)?2[(d?c)(x1?a)?(b?a)(x2?c)?2(x1?a)(x2?c)]
(b?a)2(d?c)2其中a?x1?b，c?x2?d。求
（1）随机变量X1和X2的边缘密度函数、均值和方差； （2）随机变量X1和X2的协方差和相关系数； （3）判断X1和X2是否相互独立。
4.设X?(X1,X2,?Xp)?服从正态分布，已知其协方差矩阵?为对角阵，证明其分量是相互独立的随机变量。
5. 影响粮食产量的因素很多, 大致可分为三个层次：第一层次是宏观因素。主要有三种，一是制度创新, 如20世纪50年代初的土地改革、60年代初的“ 三自一包”和 80年代初的联产承包责任制和现行的粮食直补及税费改革等。二是政策导向, 如收购政策及价格、市场政策结构调整、储备政策、财政投人、政府抓粮食生产的力度等。三是科技进步,如良种的培育、播种技术的改进、机械化程度的提高等等, 特别是杂交水稻的发明, 是粮食生产的一次绿色革命, 大大地提高了粮食单位面积产量。第二层次是中观因素。主要有粮食播种面积、单位面积产量、受灾面积等等, 这些因素是影响粮食产量的直接因素。第三层次是微观因素, 主要有有效灌溉面积、化肥施用量、农业机械化程度、财政三项投入等。为了分析粮食产量的影响因素及其影响程度,将用1978一2007年的统计数据进行分析。其中：Y是粮食产量(万吨),X1是农业化肥试用量(万吨),X2是粮食播种面积(千公顷),X3是成灾面积(千公顷),X4是农业劳动力(万人),X5是农业机械总动力(万千瓦)。
粮食产量的相关统计数据 年份 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985
Y 30476.5 33211.5 32055.5 32502 35450 38727.5 40730.5 37910.8 X1 884 1086.3 1269.4 1406.9 1513.4 1659.8 1739.8 1775.8 X2 120587 119263 117234 114958 113462 114047 112884 108845 X3 50790 39370 44526 39786 33133 34713 31887 44365 X4 11749.9 13379.2 14745.7 15679.8 16614.2 18022.1 19497.2 20912.5 X5 28455.6 29071.6 29808.4 30677.6 31152.7 31645.1 31685 30351.5 1
1986 39151.2 1930.6 110933 47135 22950 30467.9 1987 40473.3 1999.3 111268 42086 24836 30870 1988 39408 2141.5 110123 50874 26575 31455.7 1989 40754.9 2357.1 112205 46991 28067 32440.5 1990 44624.3 2590.3 113466 38474 28707.7 33336.4 1991 43529.3 2805.1 112314 55472 29388.6 34186.3 1992 44265.8 2930.2 110560 51333 30308.4 34037 1993 45648.8 3151.9 110509 48829 31816.6 33258.2 1994 44510.1 3317.9 109544 55043 33802.5 32690.3 1995 46661.8 3593.7 110060 45821 36118.1 32334.5 1996 50453.5 3827.9 112548 46989 38546.9 32260.4 1997 49417.1 3980.7 112912 53429 42015.6 32677.9 1998 51229.5 4083.7 113787 50145 45207.7 32626.4 1999 50838.6 4124.3 113161 49981 48996.1 32911.8 2000 46217.5 4146.4 108463 54688 52573.6 32797.5 2001 45263.7 4253.8 106080 52215 55172.1 32451 2002 45705.8 4339.4 103891 47119 57929.9 31990.6 2003 43069.5 4411.6 99410 54506 60386.5 31259.6 2004 46946.9 4636.6 101606 37106 64027.9 30596 2005 48402.2 4766.2 104278 38818 68397.8 29975.5 2006 49804.2 4927.7 104958 41091 72522.1 29889.3 2007 50160.3 5107.8 105638 48992 76589.6 228777 假定变量服从，根据样本资料求出均值向量和协方差矩阵的似然估计。 6.均值向量和协方差矩阵的极大似然估计具有哪些优良性质？ 7.证明多元正态分布X~Np(μ,Σ)样本均值向量X~Np(μ,Σ/n)。 8.试证多元正态分布X~Np(μ,Σ)的样本协方差矩阵
Sn?1为Σ的无偏估计。 9.设X(1),X(2),...,X(n)是从多元正态分布X~Np(μ,Σ)抽出的一个简单随机样本，试求Sn?1的分布。 10.设Xi(ni?p)是来自Np(μi,Σi)的简单随机样本，i?1,2,3,?,k， （1）已知μ1?μ2?...?μk?μ且Σ1?Σ2?...?Σk?Σ，求μ和Σ的估计。 （2）已知Σ1?Σ2?...?Σk?Σ求μ1,μ2,...,,μk和Σ的估计。
2
练习一多元正态分布的参数估计(精)
