第一节 集合
一、基础知识批注——理解深一点
1．集合的有关概念
(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．
元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中． (2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为?. (4)五个特定的集合及其关系图：
N或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．
2．集合间的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称A是B的子集，记作A?B(或B?A)．
(2)真子集：如果集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集，记作AB或BA.
*
A??A?B，B??
?A≠B.?
既要说明A中任何一个元素都属于B，也要说明B中存在一个元素不
属于A.
(3)集合相等：如果A?B，并且B?A，则A＝B.
??A?B，两集合相等：A＝B??
?A?B.?
A中任意一个元素都符合B中元素的特性，B中任意一
个元素也符合A中元素的特性．
(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．记作?.
0，{0}，?，{?}之间的关系：?≠{?}，
?∈{?}，??{?}，0??，0?{?},0∈{0}，??{0}．
1
3．集合间的基本运算
(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作?UA，即?UA＝{x|x∈U，且x?A}．
求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为?UA.
二、常用结论汇总——规律多一点
(1)子集的性质：A?A，??A，A∩B?A，A∩B?B. (2)交集的性质：A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A.
(3)并集的性质：A∪B＝B∪A，A∪B?A，A∪B?B，A∪A＝A，A∪?＝?∪A＝A. (4)补集的性质：A∪?UA＝U，A∩?UA＝?，?U(?UA)＝A，?AA＝?，?A?＝A.
(5)含有n个元素的集合共有2个子集，其中有2－1个真子集，2－1个非空子集． (6)等价关系：A∩B＝A?A?B；A∪B＝A?A?B.
三、基础小题强化——功底牢一点
一判一判对的打“√”，错的打“×” (1)若{x1}＝{0,1}，则x＝0,1.( ) (2){x|x≤1}＝{t|t≤1}．( )
(3){x|y＝x＋1}＝{y|y＝x＋1}＝{(x，y)|y＝x＋1}．( ) (4)任何一个集合都至少有两个子集．( ) (5)若A2
2
2
2,
nnnB，则A?B且A≠B.( )
(6)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)?(A∪B)恒成立．( ) (7)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ (6)√ (7)× (二)选一选
1．已知集合A＝{x∈R|0<3－x≤2}，B＝{x∈R|0≤x≤2}，则A∪B＝( ) A．[0,3] C．[0,3)
B．[1,2] D．[1,3]
解析：选C 因为A＝{x∈R|0<3－x≤2}＝{x∈R|1≤x<3}，所以A∪B＝{x∈R|0≤x<3}. 2．若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下面结论中正确的是( ) A．{a}?A
B．a?A
2
C．{a}∈A D．a?A
解析：选D 因为22不是自然数，所以a?A.
3．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x＋y≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )
A．9 C．5
2
2
2
2
B．8 D．4
解析：选A 法一：将满足x＋y≤3的整数x，y全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A.
法二：根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x＋y＝3中有9个整点，即为集合A的元素个数，故选A.
(三)填一填
4．若集合A＝{x|－2 5．已知集合U＝{－1,0,1}，A＝{x|x＝m，m∈U}，则?UA＝________. 解析：∵A＝{x|x＝m，m∈U}＝{0,1}，∴?UA＝{－1}． 答案：{－1} 2 2 2 2 考点一 集合的基本概念 [典例] (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为( ) A．3 C．1 ?? 2 2 B．2 D．0 22 0192 019 (2)已知a，b∈R，若?a，，1?＝{a，a＋b,0}，则a＋b的值为( ) ba?? A．1 C．－1 2 2 B．0 D．±1 [解析] (1)因为A表示圆x＋y＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合， 3
(通用版)2020高考数学一轮复习1.1集合讲义(文)
