2020年新课标高考数学（理科）解答题大题精练第22题-选做专题
选修4-4 坐标系与参数方程
精选大题 [2019·长沙检测]在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线M 的参数方程为??x?1?cos??y?1?sin? （?为参数），过原点O且倾斜角为?的直线l交M于A、B两点．（1）求l和M的极坐标方程；
（2）当????π??0,4??时，求OA?OB的取值范围．
【答案】（1）??????R?，?2?2?cos??sin????1?0；（2）?2,22??．
【解析】（1）由题意可得，直线l的极坐标方程为??????R?． 曲线M的普通方程为?x?1?2??y?1?2?1，
因为x??cos?，y??sin?，x2?y2??2， 所以极坐标方程为?2?2?cos??sin????1?0． （2）设A??1,??，B??2,??，且?1，?2均为正数，
将???代入?2?2?cos??2?sin??1?0，得?2?2?cos??sin????1?0， 当?????0,π?4??时，Δ?8sin2?????π?4???4?0，所以?1??2?2?cos??sin??，
根据极坐标的几何意义，OA，OB分别是点A，B的极径．
从而OA?OB???π?1??2?2?cos??sin???22sin????4??．
当?????0,π?4??时，??π4???π?4,π?2??，故OA?OB的取值范围是?2,22??．
模拟精做 ??x?3?tt1．[2019·安庆期末]在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为?（为参数），以坐标原点为极
??y??3t 点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为??4cos?． （1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程； （2）设点M?3,0，直线l与曲线C交于不同的两点A、B，求MA?MB的值．
2?【答案】（1）直线l的普通方程为3x?y?3?0，曲线C的直角坐标方程?x?2??y2?4；（2）MA?MB?43?3．
【解析】（1）直线l的普通方程为y??3x?3，即3x?y?3?0， 根据极坐标与直角坐标之间的相互转化，x??cos?，?2?x2?y2， 而??4cos?，则?2?4?cos?，即?x?2??y2?4，
2故直线l的普通方程为3x?y?3?0，曲线C的直角坐标方程?x?2??y2?4．
2（2）点M?3,0在直线l上，且直线l的倾斜角为120?，可设直线的参数方程为：
?1?x?3?t?2?，代入到曲线C的方程得t2?2?3t?3?43?0， （t为参数）??y?3t??2??t1?t2?3?2，t1t2?3?43，
由参数的几何意义知MA?MB?t1t2?43?3，故MA?MB?43?3．
3?x??2t??22．[2019·柳州模拟]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?（t为参数），以坐标原点为极点，
5?y??2t??2x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C2的极坐标方程为??31?2sin2?．
（1）求曲线C1的普通方程，曲线C2的参数方程；
（2）若P，Q分别为曲线C1，C2上的动点，求PQ的最小值，并求PQ取得最小值时，Q点的直角坐标．
??x?3cos??31?【答案】（1）x?y?4?0，C2的参数方程为?（?为参数）；（2）Q?,?．
?22???y?sin?3?x??2t??2【解析】（1）由曲线C1的参数方程为?（t为参数），消去t，得x?y?4?0，
5?y??2t??2由??31?2sin2?22，??21?2sin2??3，即?2?2?2sin2??3，
???x2?x?3cos??x?y?2y?3，即?y2?1，?C2的参数方程为?（?为参数）．
3??y?sin?2（2）设曲线C2上动点为Q?则点Q到直线C1的距离：d?3cos?,sin?，
?π??2sin?????43cos??sin??43??， ?22π?π??当sin?????1时，即??时，d取得最小值2，即PQ的最小值为2，
3?6?π3?x?3cos????31?62??，?Q?,?．
?22??y?sinπ?1?62???x?3?2cos?3．[2019·咸阳模拟]在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?（?为参数），以坐标原
??y?1?2sin?点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C的极坐标方程；
（2）在曲线C上取两点M，N与原点O构成△MON，且满足?MON?π??【答案】（1）??4sin????；（2）4．
3??π，求△MON面积的最大值． 2【解析】（1）可知曲线C的普通方程为x?3??2??y?1??4，
2π??所以曲线C的极坐标方程为?2?23?cos??2?sin??0，即??4sin????．
3??π??（2）由（1）不妨设M??1,??，N??2,???，??1?0,?2?0?，
2??S△MON?11π??ππ?2π???OM?ON??1?2?8sin????sin??????4sin?2????4， 223??23?3???所以△MON面积的最大值为4．
2020年新课标高考数学(理科)解答题大题精练第22题-坐标系与参数方程专题(含解析版)
