www.mingyuanedu.net解析：令距离为S,则S?
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83tt?10令u?
t?1，t?u2?1,dt?2udu,t?0时，u?1,t?8时，u?33tt?1??
333(u2?1)
2udu?6?u2?1du?40
1uS??
801?x2?a,x?0
在x?0处可导？若存在，求出常数a，若不存在，21.问是否存在常数a使得函数f?x???ax?1?e,x?0请说明原因.解析：假设f(x)在x?0处可导，则有：f(x)在x?0处连续，故有limf(x)?limf(x),
x?0?x?0??x2,x?0即a?0故此时f(x)???0,x?0f?(0)?limx?0??
f(x)?f(0)x2?lim?0?x?0xx?0f(x)?f(0)0?
f?(0)?lim?lim?0x?0x?0?x?0?x故f(x)在x?0处可导，?a?022.求过点A?1,0,2?且与两平面?1:x?y?z?1?0，?2:x?z?0都平行的直线的方程.解析：设直线的方向向量为s，平面?1的法向量为n1?(1,1,1)平面?2的法向量为n2?(1,0,?1)，故由题意有s?n1，s?n2，?s?n1?n2?(1,2,1)???????????直线方程为x?1y?0z?2??121n?1?1?1?1n?123.求幂级数?x的收敛区间及和函数，并计算级数???n?1n?2?n?1n?.解析：lim
n???un?1(x)
un(x)xnn?lim.n?1n?1x
n???x?1,所以收敛区间为(?1,1)
1n?11?1n令s(x)??x,当x?0时，s(x)??x(x?0)
xn?1nn?1n
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1?1n1x?n?11x11
?s(x)??x?(??tdt)?(?dt)?ln1?x,x?0
xn?1nx0n?1x01?tx当x?0时，s(0)?1
?1
?ln(1?x),x?(?1,0)?(0,1)
?s(x)??x
?1,x?0?
?111n?1令x?则?()??2ln22n?1n2四、综合题（本大题共三题，每题10分，共30分）24.设y?f?x?是第一象限内连接点M(0,4)，N(2,0)的一段连续曲线，P?x,y?为该曲线上任意一点，点B为P在x轴上的投影，O为坐标原点。若梯形OBPM的面积与曲边三角形BPM的面积之和等于?x4x?x4x另一曲线y?处的切线斜率，求曲线f?x?的方程（注：曲边三角形BPM是x,???在点???243?243?指由直线段BP，x轴以及曲线段PN所围成的封闭图形）解析：21131有题意可知：(4f(x))?x??f(t)dt?x?x2631112两边同时对x求导：(4?f(x))?xf?(x)?f(x)?x22214即f?(x)?f(x)?x?xx11?4??xdx4?xdx?2?f(x)?e(x?)edx?c????x(x??c)?x?cx?4xx??25.假设某公司生产某产品x千件的总成本是c?x??2x?12x?30x?21（万元），售出该产品x千件32的收入是r?x??60x（万元），为了使公司取得最大利润，问公司应生产多少千件产品？（注：利润等于收入减总成本）解析：设利润f(x),则
f(x)?r(x)?c(x)?60x?(2x3?12x2?30x?21)(x?0)f'(x)??6x2?24x?30,令f'(x)?0,x??1(舍去），x?50?x?5时，f'(x)?0,x?5,f'(x)?0当x?5时，f(x)取得极大值，且为最大值
7www.mingyuanedu.net26.设f?x?在??1,1?上具有二阶连续的导数，且f?0??0.（1）写出f?x?的带拉格朗日型余项的一阶麦克劳林公式.浙江专升本辅导
（2）设M、m分别为f???x?在??1,1?上的最大值与最小值，证明：（3）证明：在??1,1?上至少存在一点?使得f??????3解析：（1）f(x)?f(0）?f'(0)x?
1mM
??f?x?dx??133?f?x?dx.?11f''(?)2f''(?)2x?f'(0)x?x(0???x)2!2!?
1?1f(x)dx??(f'(0)x??11（2）由于m?f''(?)?Mf''(?)2f''(?)x)dx?23mf''(?)M??333由于（3）11mM??f(x)dx?所以m?3?f(x)dx?M?1?1331?1由介值定理可得???[?1,1],使得f''(?)?3?f(x)dx8
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