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数据结构 第六章 图 练习题及答案详细解析

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1. 填空题

⑴ 设无向图G中顶点数为n,则图G至少有( )条边,至多有( )条边;若G为有向图,则至少有( )条边,至多有( )条边。 【解答】0,n(n-1)/2,0,n(n-1)

【分析】图的顶点集合是有穷非空的,而边集可以是空集;边数达到最多的图称为完全图,在完全图中,任意两个顶点之间都存在边。

⑵ 任何连通图的连通分量只有一个,即是( )。 【解答】其自身

⑶ 图的存储结构主要有两种,分别是( )和( )。 【解答】邻接矩阵,邻接表

【分析】这是最常用的两种存储结构,此外,还有十字链表、邻接多重表、边集数组等。 ⑷ 已知无向图G的顶点数为n,边数为e,其邻接表表示的空间复杂度为( )。 【解答】O(n+e)

【分析】在无向图的邻接表中,顶点表有n个结点,边表有2e个结点,共有n+2e个结点,其空间复杂度为O(n+2e)=O(n+e)。

⑸ 已知一个有向图的邻接矩阵表示,计算第j个顶点的入度的方法是( )。 【解答】求第j列的所有元素之和

⑹ 有向图G用邻接矩阵A[n][n]存储,其第i行的所有元素之和等于顶点i的( )。 【解答】出度

⑺ 图的深度优先遍历类似于树的( )遍历,它所用到的数据结构是( );图的广度优先遍历类似于树的( )遍历,它所用到的数据结构是( )。 【解答】前序,栈,层序,队列

⑻ 对于含有n个顶点e条边的连通图,利用Prim算法求最小生成树的时间复杂度为( ),利用Kruskal算法求最小生成树的时间复杂度为( )。 【解答】O(n2),O(elog2e)

【分析】Prim算法采用邻接矩阵做存储结构,适合于求稠密图的最小生成树;Kruskal算法采用边集数组做存储结构,适合于求稀疏图的最小生成树。

⑼ 如果一个有向图不存在( ),则该图的全部顶点可以排列成一个拓扑序列。 【解答】回路

⑽ 在一个有向图中,若存在弧、、,则在其拓扑序列中,顶点vi, vj, vk的相对次序为( )。 【解答】vi, vj, vk

【分析】对由顶点vi, vj, vk组成的图进行拓扑排序。 2. 选择题

⑴ 在一个无向图中,所有顶点的度数之和等于所有边数的( )倍。 A 1/2 B 1 C 2 D 4 【解答】C

【分析】设无向图中含有n个顶点e条边,则 。

⑵ n个顶点的强连通图至少有( )条边,其形状是( )。 A n B n+1 C n-1 D n×(n-1)

E 无回路 F 有回路 G 环状 H 树状 【解答】A,G

⑶ 含n 个顶点的连通图中的任意一条简单路径,其长度不可能超过( )。 A 1 B n/2 C n-1 D n 【解答】C

【分析】若超过n-1,则路径中必存在重复的顶点。

⑷ 对于一个具有n个顶点的无向图,若采用邻接矩阵存储,则该矩阵的大小是( )。 A n B (n-1)2 C n-1 D n2 【解答】D

⑸ 图的生成树( ),n个顶点的生成树有( )条边。 A 唯一 B 不唯一 C 唯一性不能确定 D n E n +1 F n-1 【解答】C,F

⑹ 设无向图G=(V, E)和G' =(V', E' ),如果G' 是G的生成树,则下面的说法中错误的是( )。 A G' 为 G的子图 B G' 为 G的连通分量

C G' 为G的极小连通子图且V = V' D G' 是G的一个无环子图 【解答】B

【分析】连通分量是无向图的极大连通子图,其中极大的含义是将依附于连通分量中顶点的所有边都加上,所以,连通分量中可能存在回路。

⑺ G是一个非连通无向图,共有28条边,则该图至少有( )个顶点。 A 6 B 7 C 8 D 9 【解答】D

【分析】n个顶点的无向图中,边数e≤n(n-1)/2,将e=28代入,有n≥8,现已知无向图非连通,则n=9。 ⑻ 最小生成树指的是( ) 。 A 由连通网所得到的边数最少的生成树 B 由连通网所得到的顶点数相对较少的生成树 C 连通网中所有生成树中权值之和为最小的生成树 D 连通网的极小连通子图 【解答】C

⑼ 判定一个有向图是否存在回路除了可以利用拓扑排序方法外,还可以用( )。 A 求关键路径的方法 B 求最短路径的方法 C 广度优先遍历算法 D 深度优先遍历算法 【解答】D

【分析】当有向图中无回路时,从某顶点出发进行深度优先遍历时,出栈的顺序(退出DFSTraverse算法)即为逆向的拓扑序列。

⑽ 下面关于工程计划的AOE网的叙述中,不正确的是( )br /> A 关键活动不按期完成就会影响整个工程的完成时间

B 任何一个关键活动提前完成,那么整个工程将会提前完成 C 所有的关键活动都提前完成,那么整个工程将会提前完成 D 某些关键活动若提前完成,那么整个工程将会提前完

【解答】B

【分析】AOE网中的关键路径可能不止一条,如果某一个关键活动提前完成,还不能提前整个工程,而必须同时提高在几条关键路径上的关键活动。 3. 判断题

⑴ 一个有向图的邻接表和逆邻接表中的结点个数一定相等。

【解答】对。邻接表和逆邻接表的区别仅在于出边和入边,边表中的结点个数都等于有向图中边的个数。 ⑵ 用邻接矩阵存储图,所占用的存储空间大小只与图中顶点个数有关,而与图的边数无关。 【解答】对。邻接矩阵的空间复杂度为O(n2),与边的个数无关。 ⑶ 图G的生成树是该图的一个极小连通子图 【解答】错。必须包含全部顶点。

⑷ 无向图的邻接矩阵一定是对称的,有向图的邻接矩阵一定是不对称的

【解答】错。有向图的邻接矩阵不一定对称,例如有向完全图的邻接矩阵就是对称的。 ⑸ 对任意一个图,从某顶点出发进行一次深度优先或广度优先遍历,可访问图的所有顶点。 【解答】错。只有连通图从某顶点出发进行一次遍历,可访问图的所有顶点。 ⑹ 在一个有向图的拓扑序列中,若顶点a在顶点b之前,则图中必有一条弧。 【解答】错。只能说明从顶点a到顶点b有一条路径。

⑺ 若一个有向图的邻接矩阵中对角线以下元素均为零,则该图的拓扑序列必定存在。 【解答】对。参见第11题的证明。

⑻ 在AOE网中一定只有一条关键路径br />【解答】错。AOE网中可能有不止一条关键路径,他们的路径长度相同

4.n个顶点的无向图,采用邻接表存储,回答下列问题br />⑴ 图中有多少条边 ⑵ 任意两个顶点i和j是否有边相连 ⑶ 任意一个顶点的度是多少br /> 【解答】

⑴ 边表中的结点个数之和除以2。

⑵ 第i个边表中是否含有结点j。 ⑶ 该顶点所对应的边表中所含结点个数。

5.n个顶点的无向图,采用邻接矩阵存储,回答下列问题: ⑴ 图中有多少条边

⑵ 任意两个顶点i和j是否有边相连 ⑶ 任意一个顶点的度是多少 【解答】

⑴ 邻接矩阵中非零元素个数的总和除以2。

⑵ 当邻接矩阵A中A[i][j]=1(或A[j][i]=1)时,表示两顶点之间有边相连。 ⑶ 计算邻接矩阵上该顶点对应的行上非零元素的个数。 6.证明:生成树中最长路径的起点和终点的度均为1。 【解答】用反证法证明。

设v1, v2, …, vk是生成树的一条最长路径,其中,v1为起点,vk为终点。若vk的度为2,取vk的另一个邻接点v,由于生成树中无回路,所以,v在最长路径上,显然 v1, v2, …, vk , v的路径最长,与假设矛盾。所以生成树中最长路径的终点的度为1。 同理可证起点v1的度不能大于1,只能为1。

7.已知一个连通图如图6-6所示,试给出图的邻接矩阵和邻接表存储示意图,若从顶点v1出发对该图进行遍历,分别给出一个按深度优先遍历和广度优先遍历的顶点序列。

【解答】邻接矩阵表示如下:

数据结构 第六章 图 练习题及答案详细解析

图1.填空题⑴设无向图G中顶点数为n,则图G至少有()条边,至多有()条边;若G为有向图,则至少有()条边,至多有()条边。【解答】0,n(n-1)/2,0,n(n-1)【分析】图的顶点集合是有穷非空的,而边集可以是空集;边数达到最多的图称为完全图,在完全图中,任意两个顶点之间都存在边。⑵任何连通图的连通分量
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