?π?f1?2sinfx1,2因为??的图象过点??，所以???????2，即
?6?π?ππππ?π????2kπ?k?Z?，因为??，所以??，f?x??2sin?x??.
3?3262?6（2）因为将函数f?x?图象上所有点的横坐标变为原来的
1（纵坐标不变）得到函数2π??πg?x?的图象，所以g?x??2sin?x??，
3??3当x??3,5?时，
ππ?4ππ???πx???,2π?，则2sin?x?????2,0?， 33?33???3因为不等式g?x??121t?2t在x??3,5?上有解，即有t2?2t?0， 22解得?4?t?0，所以实数t的取值范围为??4,0?. 【点睛】
本题考查了根据三角函数的图象求解析式，考查了由图象变换求解析式，考查了不等式有解问题，属于中档题.
20．2020年5月政府工作报告提出，通过稳就业促增收保民生，提高居民消费意愿和能力．近日，多省市为流动商贩经营提供便利条件，放开“地摊经济”，但因其露天经营的特殊性，易受到天气的影响，一些平台公司纷纷推出帮扶措施，赋能“地摊经济”．某平台为某销售商“地摊经济”的发展和规范管理投入xx??4,8?万元的赞助费，已知该销售商出售的商品为每件40元，在收到平台投入的x万元赞助费后，商品的销售量将增加到y????10?????2??万件，???0.6,1?为气象相关系数，若该销售商出售y万件x?2?商品还需成本费?40?5x?30y?万元．
（1）求收到赞助后该销售商所获得的总利润p万元与平台投入的赞助费x万元的关系式；（注：总利润=赞助费+出售商品利润）
（2）若对任意x??4,8?万元，当入满足什么条件时，该销售商才能不亏损？ 【答案】（1）p?100??该销售商才能不亏损． 【分析】
200??4x?40，x??4,8?；（2）当?满足???0.9,1?时，x?2试卷第16页，总21页
（1）根据总利润=赞助费+出售商品利润和已知得解； （2）由题得25??x?10??x?2?在x??4,8?上恒成立，设f?x??x?20?12，利
xx用导数求出函数f(x)的最大值即可得解. 【详解】
（1）由题意得p?x?40???10???20??20????40?5x?30??10?????? x?2??x?2????100??200??4x?40，x??4,8?． x?2（2）要使对任意x??4,8?（万元）时，该销售商才能不亏损，即有p0，变形得
x?10??x?2??在x??4,8?上恒成立， 25?xx?10??x?2?x2?12x?20?20而??x??12，
xxx设f?x??x?令f2020?12，f??x??1?2，
xxx0解得x??25，
???所以函数f?x?在??4,25?单调递减，在?25,8?单调递增，
f?x?max?max?f?4?,f?8??，因为f?4??21?f?8??22.5，
所以有25?22.5，解得?0.9，
即当?满足???0.9,1?时，该销售商才能不亏损． 【点睛】
本题主要考查函数和不等式的应用，考查导数的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
21．已知函数f?x???1?a?x?sinx??1?a?x?cosx，x??0,π?，a?R. （1）若函数f?x?在??π,?2π?π??f???处的切线斜率为?1，求a的值；
2?2??（2）若任意x??0,π?，f?x??0恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1）a?1；（2）?π?1,?1. 【分析】
试卷第17页，总21页
??（1）求出f??x???x?a??sinx?cosx?，根据题意f??即可求解.
π?π?π??a??1，解方程?2?2?2（2）求出f??x???x?a??sinx?cosx?，x??0,π?，令f??x??0解得x1??a，
x2?πππ，讨论a?0或??a?0或?π?a??或a??π，求出函数的单调区间，
444将不等式恒成立转化为求函数的最值问题即可. 【详解】
解：（1）因为f?x???1?a?x?sinx??1?a?x?cosx， 所以f??x???x?a??sinx?cosx?， 因为函数f?x?在??π,2?π?π??f???处的切线斜率为?1，
2?2??所以f??π?π?π???a??1，解得a?1.
2?2?2（2）由（1）知，f??x???x?a??sinx?cosx?，x??0,π?， 令f??x??0解得x1??a，x2?π， 4??π??上，sinx?cosx?0， 4?①当a?0时，x?a?0，在x??0,所以f??x??0，f?x?单调递减；
在x??,π?上，sinx?cosx?0，所以f??x??0，f?x?单调递增；
4要使任意x??0,π?，f?x??0恒成立， 即有f?x?min?f?②当??π???π2?π?2?π??π?a?? ，解得，不满足；?1?a??1?a??0?????44?2?4??4?2?π?a?0时，在x??0,?a?上，x?a?0， 4sinx?cosx?0，所以f??x??0，f?x?单调递增；
在x???a,??π? ?上，x?a?0，sinx?cosx?0，所以f??x??0，f?x?单调递减；
4?试卷第18页，总21页
?π?x?在?,π?上，x?a?0，sinx?cosx?0，所以f??x??0，f?x?单调递增；
?4??f?要使任意x??0,π?，f?x??0恒成立，即有??f?③当?π?a???0??0，解得a??1，不满足； ?π??0???4?π?π??π?0,fx② 时，结合易知，??在??单调递增；在?,?a?单调递减；
4?4??4???f?0??0在??a,π?单调递增；要使任意x??0,π?，f?x??0恒成立，即有?，
f?a?0????解得?π?a??1，所以a??π,?1，满足； ④当a??π时，f?x?在?0,???π??π?单调递增；在??,π?单调递减； 4?4???要使任意，f?x??0??f?π??0x??0,π?恒成立，即有?，
f0?0????解得?π?1?a??1，所以a??π?1,?π?，满足； 综上：a的取值范围为?π?1,?1.） 【点睛】
本题考查了导数的几何意义、根据函数的斜率求参数值、利用导数研究不等式恒成立，考查了转化与划归的思想以及分类讨论的思想，属于难题.
?????x?22cos?22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?（?为参数），
??y?2sin?以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
?sin?????22.
4?（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； （2）点P为曲线C上点，求点P到直线l距离的最小值.
??π?x2y2【答案】（1）x?y?4?0；（2）22?5. ??1；
82【分析】
（1）利用cos2??sin2??1消去参数可得直线l的普通方程；化简
试卷第19页，总21页
?sin?????22，将x??cos?,y??sin?代入可得曲线C的直角坐标方程；
4?（2）P22cos?,2sin?，利用点到直线距离公式求出距离，根据三角函数的性质可求出最值. 【详解】
??π?????x?22cos?解：（1）因为曲线C的参数方程为?，
??y?2sin?所以x??2y??22cos?22????222sin??2?8?sin2??cos2???8，
x2y2整理得??1；
82因为直线l的极坐标方程为?sin?????π???22，所以4?22?sin???cos??22，整理得?sin???cos??4，即x?y?4?0. 22（2）由（1）得直线l的直角坐标方程为x ?y?4?0，则设点P22cos?,2sin?，
?????0,2π?，
则点P到直线x?y?4?0的距离
d?22cos??2sin??42?10sin??????42?22?5.
，其中tan??2，
当sin??????1时，dmin?【点睛】
10?42本题考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程化直角坐标方程，考查点到直线距离的最值求法，属于中档题.
23．已知函数f?x??2x?1?x?2. （1）求不等式f?x??x?2的解集； （2）若f?x???t?1对一切实数x均成立，求实数t的取值范围. 25???3?,??（2）???,?2??；??2?试卷第20页，总21页
【答案】（1）???,??2???3,???.
【分析】
（1）利用零点分界法去绝对值即可求解. （2）由（1），可得f?x?min?f??551?1????t???，将不等式转化为对一切?2222??实数x恒成立，利用绝对值的几何意义解不等式即可. 【详解】
1??x?3,x???2?1?解：（1）f?x???3x?1,??x?2，
2??x?3,x?2??155时，?x?3?x?2，解得x??，所以x??； 222133②??x?2时，3x?1?x?2，解得x?，所以?x?2；
222①当x??③x?2时，x?3?x?2，解得x?R，所以x?2； 综上：不等式f?x??x?2的解集为???,??2（2）由（1），知f?x?min?f????5???3?,???. ?2??5?1???， ?22??因为f?x???t?1对一切实数x均成立， 2即有?51??t?，解得t?3或t??2， 22所以t的取值范围为???,?2?【点睛】
?3,???.
本题考查了绝对值不等式的解法，分段函数的最值，考查了基本运算求解能力以及分类讨论的思想，属于基础题.
试卷第21页，总21页
19.百师联盟2021届高三一轮复习联考（一）理数全国卷III试题[解析版] - 图文
