则PE?EC?2．以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
?112?则E(0,0,0)，P(0,0,2)，B(0,1,0)，F???2,2,2??，
???112?EF?则EB?(0,1,0)???2,2,2??，记平面EBF的法向量为m??x,y,z?
???y?0?m?EB?0?由?得到?1， 12z?0?m?EF?0??x?y?22?2取x?2，可得z?2，则m?(2,0,2)．
易知平面PEB的法向量为n?EA?(1,0,0)．
记二面角P?BE?F的平面角为?，且由图可知?为锐角， 则cos??|m?n|266，所以二面角P?BE?F的余弦值为． ??|m||n|336
【点睛】
本题考查用面面垂直的性质定理证明线面垂直，从而得线线垂直，考查用空间向量法求二面角．在立体几何中求异面直线成的角、直线与平面所成的角、二面角等空间角时，可以建立空间直角坐标系，用空间向量法求解空间角，可避免空间角的作证过程，通过计算求解．
18．为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核．记X表示学生的考核成绩，并规定X?85为考核优秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：
（Ⅰ）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率； （Ⅱ）从图中考核成绩满足X??80,89?的学生中任取2人，求至少有一人考核优秀的概率；
（Ⅲ）记P(a?X?b)表示学生的考核成绩在区间?a,b?的概率，根据以往培训数据，规定当
?x?85?P??1??0.5时培训有效．请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理?10?由．
【答案】（Ⅰ）【解析】 【分析】
（Ⅰ）根据茎叶图求出满足条件的概率即可；
（Ⅱ）结合图表得到6人中有2个人考核为优，从而求出满足条件的概率即可； （Ⅲ）求出满足【详解】
解：（Ⅰ）设这名学生考核优秀为事件A，
由茎叶图中的数据可以知道，30名同学中，有7名同学考核优秀， 所以所求概率P?A?约为
37（Ⅱ）（Ⅲ）见解析
530X?85?1的成绩有16个，求出满足条件的概率即可． 107 30（Ⅱ）设从图中考核成绩满足X??80,89?的学生中任取2人， 至少有一人考核成绩优秀为事件B，
因为表中成绩在?80,89?的6人中有2个人考核为优，
所以基本事件空间?包含15个基本事件，事件B包含9个基本事件， 所以P(B)?93? 155x?85?1的成绩有16个， 10（Ⅲ）根据表格中的数据，满足
所以P??x?85?168?1????0.5 103015??所以可以认为此次冰雪培训活动有效． 【点睛】
本题考查了茎叶图问题，考查概率求值以及转化思想，是一道常规题． 19．已知动圆E与圆M:?x?1??y?2211外切，并与直线x??相切，记动圆圆心E的轨迹为曲线C.
24（1）求曲线C的方程；
（2）过点Q??2,0?的直线l交曲线C于A，B两点，若曲线C上存在点P使得?APB?90?，求直线l的斜率k的取值范围.
【答案】（1）y?4x；（2）??2??6??6?,0??0,??. ??6??6?【解析】 【分析】
（1）根据抛物线的定义，结合已知条件，即可容易求得结果； （2）设出直线l的方程，联立抛物线方程，根据直线与抛物线相交则斜率关系，即可求得斜率k的范围. 【详解】
?0，结合由?APB?90?得到的
11外切，并与直线x??相切，
2411所以点E到点M的距离比点E到直线x??的距离大.
221122因为圆M:?x?1??y?的半径为，
42（1）因为动圆E与圆M:?x?1??y?22所以点E到点M的距离等于点E到直线x??1的距离， 所以圆心E的轨迹为抛物线，且焦点坐标为?1,0?. 所以曲线C的方程y?4x.
（2）设P?x0,y0?，A?x1,y1?，B?x2,y2?
2??y?4x2由?得ky?4y?8k?0， ??y?k?x?2?2?k?022由?得?且k?0. ?k?216?32k?022?y1?y2?4，y1y2?8 kkPA?y0?y1y0?y144?2?2k? ，同理yyPBx0?x1y0?y10y0?y2?14444???1， 由?APB?90?，得
y0?y1y0?y2即y0?y0?y1?y2??y1y2??16，
2所以y0?24y0?24?0， k266?4?由?????96?0，得??k?66?k?且k?0，
又?22且k?0， ?k?22?6??6?,0?所以k的取值范围为??????0,6?. 6????【点睛】
本题考查由抛物线定义求抛物线方程，涉及直线与抛物线相交结合垂直关系求斜率的范围，属综合中档题. 20．武汉有“九省通衢”之称，也称为“江城”，是国家历史文化名城.其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风景区等等.
（1）为了解“五·一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000人，制成了如图的频率分布直方图：
现从年龄在?42,52?内的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人，记4人中年龄在?47,52?内的人数为?，求P???3?；
（2）为了给游客提供更舒适的旅游体验，该旅游景点游船中心计划在2020年劳动节当日投入至少1艘至多3艘A型游船供游客乘坐观光.由2010到2019这10年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量X（单位：万人）都大于1.将每年劳动节当日客流量数据分成3个区间整理得表： 劳动节当日客流量X 频数（年） 1?X?3 2 3?X?5 4 X?5 4 以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年劳动节当日客流量相互独立.
该游船中心希望投入的A型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日A型游船最多使用量（单位：艘）要受当日客流量X（单位：万人）的影响，其关联关系如下表： 劳动节当日客流量X 1?X?3 1 3?X?5 2 X?5 3 A型游船最多使用量 若某艘A型游船在劳动节当日被投入且被使用，则游船中心当日可获得利润3万元；若某艘A型游船劳动节当日被投入却不被使用，则游船中心当日亏损0.5万元.记Y（单位：万元）表示该游船中心在劳动节
当日获得的总利润，Y的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大，问该游船中心在2020年劳动节当日应投入多少艘A型游船才能使其当日获得的总利润最大？ 【答案】（1）P???3??【解析】 【分析】
（1）首先计算出在?42,47?，?47,52?内抽取的人数，然后利用超几何分布概率计算公式，计算出
4；（2）投入3艘A型游船使其当日获得的总利润最大 35P???3?.
（2）分别计算出投入1,2,3艘游艇时，总利润的期望值，由此确定当日游艇投放量. 【详解】
（1）年龄在?42,47?内的游客人数为150，年龄在?47,52?内的游客人数为100；若采用分层抽样的方法抽取10人，则年龄在?42,47?内的人数为6人，年龄在?47,52?内的人数为4人.
31C4C64?. 可得P???3??4C1035（2）①当投入1艘A型游船时，因客流量总大于1，则E?Y??3（万元）. ②当投入2艘A型游船时，
若1?X?3，则Y?3?0.5?2.5，此时P?Y???5?21?P1?X?3??； ???2?105若X?3，则Y?3?2?6，此时P?Y?6??P?3?X?5??P?X?5??此时Y的分布列如下表：
4； 5Y P 此时E?Y??2.5?2.5 6 1 514?6??5.3（万元）. 554 5③当投入3艘A型游船时，
21?； 1052若3?X?5，则Y?3?2?0.5?5.5，此时P?Y?5.5??P?3?X?5??；
52若X?5，则Y?3?3?9，此时P?Y?9??P?X?5??；
5若1?X?3，则Y?3?1?2，此时P?Y?2??P?1?X?3??此时Y的分布列如下表：
Y 2 5.5 9
天津市大港区2021届新高考第一次模拟数学试题含解析
