........................ 优质文档..........................
如果您喜欢这份文档，欢迎下载!
第2课时 定点与定值问题
定点问题
例1 (2019·北京)已知抛物线C：x＝－2py经过点(2，－1). (1)求抛物线C的方程及其准线方程；
(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点. (1)解 由抛物线C：x＝－2py经过点(2，－1)，得p＝2. 所以抛物线C的方程为x＝－4y，其准线方程为y＝1. (2)证明 抛物线C的焦点为F(0，－1). 设直线l的方程为y＝kx－1(k≠0).
??y＝kx－1，由?2
??x＝－4y，
22
2
得x＋4kx－4＝0.
2
Δ＝16k2＋16>0恒成立.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2＝－4. 直线OM的方程为y＝x.
令y＝－1，得点A的横坐标xA＝－. 同理得点B的横坐标xB＝－. →?x1?设点D(0，n)，则DA＝?－，－1－n?，
y1
x1
x1y1
x2y2
?y1?
→
?x2?DB＝?－，－1－n?， ?y2?
y1y2
x1x22
22＋(n＋1) ?－x1??－x2?→→x1x2
DA·DB＝＋(n＋1)2＝
?4??4?????
2
2
＝
16
x1x2
＋(n＋1)＝－4＋(n＋1).
→→2
令DA·DB＝0，即－4＋(n＋1)＝0，得n＝1或n＝－3. 综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0，－3). 思维升华 圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何
1
........................ 优质文档..........................
如果您喜欢这份文档，欢迎下载!
时没有关系，找到定点.
(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 1
跟踪训练1 (2019·全国Ⅲ)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两
22条切线，切点分别为A，B. (1)证明：直线AB过定点；
x2
?5?(2)若以E?0，?为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.
?2?
1??2
(1)证明 设D?t，－?，A(x1，y1)，则x1＝2y1.
2??1
2
由y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，故＝x1.
x1－ty1＋
整理得2tx1－2y1＋1＝0.
设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0. 故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.
?1?所以直线AB过定点?0，?. ?2?
1
(2)解 由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋.
21
y＝tx＋，??2由?xy＝??2，
2
x1＋x2
可得x－2tx－1＝0，Δ＝4t＋4>0，
22
于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1，
y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1，
|AB|＝1＋t|x1－x2| ＝1＋t·
2
2
2
－4x1x2＝2(t＋1).
2
设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离， 则d1＝t＋1，d2＝
2
2
t＋1
2，
1
因此，四边形ADBE的面积S＝|AB|(d1＋d2)
2＝(t＋3)t＋1.
1?2?设M为线段AB的中点，则M?t，t＋?. 2??
2
2
2
........................ 优质文档..........................
如果您喜欢这份文档，欢迎下载!
→→→2
因为EM⊥AB，而EM＝(t，t－2)， →
AB与向量(1，t)平行，所以t＋(t2－2)t＝0，
解得t＝0或t＝±1.
当t＝0时，S＝3；当t＝±1时，S＝42. 因此，四边形ADBE的面积为3或42.
定值问题
例2 (2020·河南八市重点高中联考)已知O为坐标原点，过点M(1,0)的直线l与抛物线C：
y2＝2px(p>0)交于A，B两点，且OA·OB＝－3.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点M作直线l′⊥l交抛物线C于P，Q两点，记△OAB，△OPQ的面积分别为S1，S2，11
证明：2＋2为定值.
→→
S1S2
(1)解 设直线l：x＝my＋1， 联立方程?
?x＝my＋1，?
??y＝2px，
2
消x得，y－2pmy－2p＝0，
2
设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝2pm，y1y2＝－2p， →→
又因为OA·OB＝x1x2＋y1y2 ＝(my1＋1)(my2＋1)＋y1y2 ＝(1＋m)y1y2＋m(y1＋y2)＋1
＝(1＋m)(－2p)＋2pm＋1＝－2p＋1＝－3. 解得p＝2.
所以抛物线C的方程为y＝4x.
(2)证明 由(1)知M(1,0)是抛物线C的焦点， 所以|AB|＝x1＋x2＋p＝my1＋my2＋2＋p＝4m＋4. 原点到直线l的距离d＝11＋m2
2
2
2
2
2
，
1122
所以S1＝××4(m＋1)＝21＋m. 2
21＋m因为直线l′过点(1,0)且l′⊥l， 所以S2＝2
?1?2
1＋??＝2?m?
1＋m2m2
.
3
2021高考数学一轮复习第九章平面解析几何高考专题突破五第2课时定点与定值问题教学案理新人教A版
