考点规范练58 排列与组合
1.把标号为1,2,3,4,5的同色球全部放入编号为1~5号的箱子中,每个箱子放一个球且要求偶数号的球必须放在偶数号的箱子中,则所有的放法种数为( ) A.11 答案:C
3
解析:依题意,满足题意的放法种数为A22·A3=12.
B.10 C.12 D.8
2.(2024河北石家庄模拟)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3 000的四位数,这样的四位数有( ) A.250个 答案:C
解析:①当千位上的数字为4时,满足条件的四位数有A34=24(个);②当千位上的数字为3时,满足条件的四位数有A34=24(个).由分类加法计数原理得满足条件的四位数共有24+24=48(个),故选C. 3.安排A,B,C,D,E,F六名义工照顾甲、乙、丙三名老人,每两名义工照顾一名老人,考虑到义工与老人住址距离问题,义工A不安排照顾老人甲,义工B不安排照顾老人乙,则不同的安排方法共有( ) A.30种 答案:C
22解析:当A照顾老人乙时,共有C14C4C2=24(种)不同方法; 12当A不照顾老人乙时,共有C24C3C2=18(种)不同方法.
B.249个 C.48个 D.24个
B.40种 C.42种 D.48种
故安排方法有24+18=42(种).
4.只用1,2,3三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须同时使用,且同一数字不能相邻出现,这样的四位数有( ) A.6个 答案:C
B.9个
C.18个
D.36个
1
解析:题设中要求,一是三个数字必须全部使用,二是相同的数字不能相邻,选四个数字共有C13=3(种)
2方法,即1231,1232,1233,而每一种选择有A22C3=6(种)排法,所以共有3×6=18(种)不同情况,即这样
的四位数共有18个.
5.某城市关系要好的A,B,C,D四个家庭各有两个小孩共8人,分别乘甲、乙两辆汽车出去游玩,每车限坐4名(乘同一辆车的4名小孩不考虑位置),其中A户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名小孩中恰有2名来自同一个家庭的乘坐方式共有( ) A.18种 答案:B
解析:若A户家庭的孪生姐妹乘坐甲车,则剩下的两个小孩来自其他的2个家庭,有C23·2=12(种)方
2
B.24种 C.36种 D.48种
法;若A户家庭的孪生姐妹乘坐乙车,则来自同一家庭的2名小孩来自剩下的3个家庭中的一个,有C13·2=12(种)方法,所以共有12+12=24(种)方法.
2
6.已知6人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有( ) A.192种 答案:B
解析:(1)当最左端排甲的时候,排法的种数为A55;
4(2)当最左端排乙的时候,排法种数为C14A4. 14因此不同的排法的种数为A55+C4A4=120+96=216.
B.216种 C.240种 D.288种
7.某学校安排甲、乙、丙、丁4名同学参加数学、物理、化学竞赛,要求每名同学仅报一科,每科至少有1名同学参加,且甲、乙不能参加同一学科,则不同的安排方法有( ) A.36种 答案:B
3解析:先从4名同学中选出2名同学参加同一学科竞赛有C24种方法,再同其他两个学科排列有A3种方3法,故要求4名同学每人只报一科,且每科至少有1名同学参加共有C24A3=36(种)方法,
B.30种 C.24种 D.6种
其中有不符合条件的,即学生甲、乙同时参加同一学科竞赛有A33种方法, 故不同的参赛方案共有36-6=30(种)方法,故选B.
2
8.从2名女生、4名男生中选3人参加科技比赛,且至少有1名女生入选,则不同的选法共有 种.(用数字填写答案) 答案:16
3
解析:根据题意,没有女生入选有C34=4(种)选法,从6名学生中任意选3人有C6=20(种)选法,故至少
有1位女生入选,则不同的选法共有20-4=16(种).
9.从2名语文老师、2名数学老师、4名英语老师中选派5人组成一个支教小组,则语文老师、数学老师、英语老师都至少有1名的选派方法种数为 .(用数字作答) 答案:44
解析:由题意可知分四类,
第一类,2名语文老师,2名数学老师,1名英语老师,有C14=4(种);
2第二类,1名语文老师,2名数学老师,2名英语老师,有C12C4=12(种); 2第三类,2名语文老师,1名数学老师,2名英语老师,有C12C4=12(种); 13第四类,1名语文老师,1名数学老师,3名英语老师,有C12C2C4=16(种);
则一共有4+12+12+16=44(种)选派方法.
10.用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有 个.(用数字作答) 答案:1 080
解析:①没有一个数字是偶数的四位数有A45=120(个);
34②有且只有一个数字是偶数的四位数有C14C5A4=960(个).
所以至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080(个).
11.将编号为1,2,3,4的四个小球放入3个不同的盒子中,每个盒子里至少放1个,则恰有1个盒子中有2个连号小球的所有不同放法有 种.(用数字作答) 答案:18
解析:由题意知三个盒子中小球的个数是一个盒子有2个,另两个盒子各有1个.
3其中2个连号小球的种类有(1,2),(2,3),(3,4),分组后分配到三个不同的盒子里,共有C13A3=18(种).
能力提升
3
12.(2024广东广州调研)某学校获得5个高校自主招生推荐名额,其中甲大学2个,乙大学2个,丙大学1个,并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加,学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象,则不同的推荐方法共有( ) A.36种 答案:B
解析:根据题意,分两种情况讨论:第一种,3名男生每个大学各推荐1人,2名女生分别推荐给甲大
2
学和乙大学,推荐方法共有A33A2=12(种);第二种,将3名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大学,22推荐方法共有C23A2A2=12(种).故共有24种推荐方法.
B.24种 C.22种 D.20种
13.某日5名同学去食堂就餐,有米饭,花卷,包子和面条四种主食.每种主食均至少有一名同学选择且每人只能选择其中一种.花卷数量不足仅够一人食用,甲同学因肠胃不好不能吃米饭,则不同的食物搭配方案种数为( ) A.96 答案:C
1解析:分类讨论:(1)甲选花卷,则有2人选同一种主食,方法有C24C3=18(种),剩下2人选其余主食,方
B.120 C.132 D.240
法有A22=2(种),共有方法18×2=36(种);(2)甲不选花卷,其余4人中1人选花卷,方法为4种,甲选包子或面条,方法为2种,其余3人,若有1人选甲选的主食,剩下2人选其余主食,方法为
223A22=6(种);若没有人选甲选的主食,方法为C3A2=6(种),共有4×2×(6+6)=96(种),故共有
36+96=132(种),故选C.
14.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”,主要指德育;“乐”,主要指美育;“射”和“御”,就是体育和劳动;“书”,指各种历史文化知识;“数”,数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动,每艺安排一节,连排六节,一天课程讲座排课有如下要求:“数”必须排在前三节,且“射”和“御”两门课程相邻排课,则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有( ) A.120种 答案:A
4123解析:当“数”排在第一节时有A22·A4=48(种)排法,当“数”排在第二节时有A3·A2·A3=36(种)排法,3当“数”排在第三节时,“射”和“御”两门课程排在第一、二节时有A22·A3=12(种)排法,当“射”
B.156种 C.188种 D.240种
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和“御”两门课程排在后三节时有A12·A2·A3=24(种)排法,所以满足条件的共有
48+36+12+24=120(种)排法,故选A.
15.(2024广东深圳高三二调)精准扶贫是全面建成小康社会、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障.某单位拟组成4男3女共7人的扶贫工作队,派驻到3个贫困地区A,B,C进行精准扶贫工作.若每个地区至少派驻1男1女两位工作人员,且男性甲必须派驻到A地区,则不同的派驻方式有 种. 答案:72
解析:由于7人的扶贫工作队中由4男3女组成,且A,B,C三个地区中每个地区至少派驻1男1女,所以每个地区各1名女性,共有A33=6(种)派驻方式, 由于男性甲必须派驻到A地区,
所以若其余3名分别在A,B,C三个地区,有A33=6(种)派驻方式,
2若其余3名分成2人和1人两组,分别派驻B,C两个地区,有C23A2=6(种)派驻方式,
所以男性的派驻方式共有6+6=12(种)派驻方式,所以由分步乘法计数原理,不同的派驻方式共有6×12=72(种).
高考预测
16.用1,2,3,4,5,6组成数字不重复的六位数,满足1不在左右两端,2,4,6三个偶数有且只有两个偶数相邻,则这样的六位数的个数为( ) A.432 答案:B
解析:从2,4,6三个偶数中任意选出2个看作一个整体,由于两个偶数可交换位置,所以有A23=6(种)方法,先排3个奇数,有A33=6(种)方法,将整体和另一个偶数插在3个奇数形成的4个空中有
12A24=12(种)方法.六位数共有6×6×12=432(种);若1排在两端,此时三个奇数的排法有A2·A2=4(种),
B.288 C.216 D.144
将整体和另一个偶数插在3个奇数形成的3个空中,方法有A23=6(种),六位数共有6×4×6=144(种),故所求的六位数的个数为432-144=288(种).
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2024高考数学大一轮复习考点规范练58排列与组合理新人教A版
