2014-2019年高考数学真题分类汇编
专题7：数列（较难综合解答题）（三）
32．（2016?北京理）设数列A:a1，a2，?，aN (N…2)．如果对小于n(2剟nN)的每个正整数k都有ak?an，则称n是数列A的一个“G时刻”，记G（A）是数列A的所有“G时刻”组成的集合．
（Ⅰ）对数列A:?2，2，?1，1，3，写出G（A）的所有元素； （Ⅱ）证明：若数列A中存在an使得an?a1，则G（A）??；
（Ⅲ）证明：若数列A满足an?an?1?1(n?2，3，则G（A）的元素个数不小于aN?a1． ?，N)，【考点】数列与函数的综合；数学归纳法 【分析】（Ⅰ）结合“G时刻”的定义进行分析； （Ⅱ）可以采用假设法和递推法进行分析； （Ⅲ）可以采用假设法和列举法进行分析．
【解答】解：（Ⅰ）根据题干可得，a1??2，a2?2，a3??1，a4?1，a5?3，a1?a2满足条件，2满足条件，a2?a3不满足条件，3不满足条件，
a2?a4不满足条件，4不满足条件，a1，a2，a3，a4，均小于a5，因此5满足条件，因此G（A）?{2，5}．
ik?1，（Ⅱ）因为存在an?a1，设数列A中第一个大于a1的项为ak，则ak?a1…其中2剟ai，
所以k?G（A），G（A）??；
（Ⅲ）设A数列的所有“G时刻”为i1?i2???ik，
ai(i?2，3，?，i1?1)，则 对于第一个“G时刻” i1，有ai1?a1…ai1?a1剟ai1?ai1?11．
ai(i?2，3，?，i1?1)，则 对于第二个“G时刻” i1，有ai2?ai1…ai2?ai1剟ai2?ai2?11．
类似的ai3?ai2?1，?，aik?aik?1?1．
(aik?aik?1)?(aik?1?aik?2)???(ai2?ai1)?(ai1?a1)?aik?a1． 于是，k…对于aN，若N?G（A），则aik?aN．
若N?G（A），则aN?aik，否则由（2）知aik，aik?1，?，aN，中存在“G时刻”与只有k个“G时刻”矛盾． aik?a1aN?a1． 从而k厖【点评】本题属于新定义题型，重点在于对“G时刻”定义的把握，难度较大． 33．（2017?浙江）已知数列{xn}满足：x1?1，xn?xn?1?ln(1?xn?1)(n?N*)，证明：当n?N*时，
（Ⅰ）0?xn?1?xn； （Ⅱ）2xn?1?xn?（Ⅲ）
xnxn?1； 211． 剟xnn?1n?222【考点】数列递推式；数列与不等式的综合 【分析】（Ⅰ）用数学归纳法即可证明，
（Ⅱ）构造函数，利用导数判断函数的单调性，把数列问题转化为函数问题，即可证明， （Ⅲ）由
xnxn?11111?…2(?)?0，继续放缩即可证明 …2xn?1?xn得
xn?12xn22【解答】解：（Ⅰ）用数学归纳法证明：xn?0， 当n?1时，x1?1?0，成立， 假设当n?k时成立，则xk?0，
那么n?k?1时，若xk?1?0，则0?xk?xk?1?ln(1?xk?1)?0，矛盾， 故xn?1?0，
因此xn?0，(n?N*) ?xn?xn?1?ln(1?xn?1)?xn?1，
因此0?xn?1?xn(n?N*)，
2（Ⅱ）由xn?xn?1?ln(1?xn?1)得xnxn?1?4xn?1?2xn?xn?1?2xn?1?(xn?1?2)ln(1?xn?1)，
记函数f(x)?x2?2x?(x?2)ln(1?x)，x…0
2x2?x?f?(x)??ln(1?x)?0，
x?1?f(x)在(0,??)上单调递增， ?f(x)…f(0)?0，
20， 因此xn?1?2xn?1?(xn?1?2)ln(1?xn?1)…故2xn?1?xn?（Ⅲ）
xnxn?1； 2xn?xn?1?ln(1?xn?1)?xn?1?xn?1?2xn?1，
1?xn…n?1，
2xx1111由nn?1…?…2(?)?0， 2xn?1?xn得
xn?12xn22?
111111?厖2(?)??2n?1(?)?2n?2， xn2xn?12x12?xn?12n?2，
11剟xnn?2． n?122综上所述
【点评】本题考查了数列的概念，递推关系，数列的函数的特征，导数和函数的单调性的关系，不等式的证明，考查了推理论证能力，分析解决问题的能力，运算能力，放缩能力，运算能力，属于难题
34．（2017?上海）根据预测，某地第n(n?N*)个月共享单车的投放量和损失量分别为an和bn?5n4?15,1剟n3（单位：辆），其中an??，bn?n?5，第n个月底的共享单车的保有量
?10n?470,n…4?是前n个月的累计投放量与累计损失量的差． （1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；
（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量Sn??4(n?46)2?8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？
【考点】根据实际问题选择函数类型
【分析】（1）计算出{an}和{bn}的前4项和的差即可得出答案；
（2）令an…bn得出n?42，再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论． 【解答】解：（1）a?5n4?15,1剟n3n??，??10n?470,n…4bn?n?5
?a1?5?14?15?20 a42?5?2?15?95 a3?5?34?15?420 a4??10?4?470?430 b1?1?5?6
b2?2?5?7 b3?3?5?8 b4?4?5?9
?前4个月共投放单车为a1?a2?a3?a4?20?95?420?430?965，
前4个月共损失单车为b1?b2?b3?b4?6?7?8?9?30，
?该地区第4个月底的共享单车的保有量为965?30?935．
（2）令an…bn，显然n?3时恒成立，
当n…4时，有?10n?470…n?5，解得n?46511， ?第42个月底，保有量达到最大．
当n…4，{an}为公差为?10等差数列，而{bn}为等差为1的等差数列， ?
到第42个月底，单车保有a4?a422?39?535?b1?b422?42?430?506?472?39?535?2?42?8782． S42??4?16?8800?8736．
8782?8736，
?第42个月底单车保有量超过了容纳量．
量为
【点评】本题考查了数列模型的应用，等差数列的求和公式，属于中档题．
35．（2017?江苏）对于给定的正整数k，若数列{an}满足：则称数an?k?an?k?1???an?1?an?1???an?k?1?an?k?2kan对任意正整数n(n?k)总成立，列{an}是“P(k)数列”．
（1）证明：等差数列{an}是“P（3）数列”；
（2）若数列{an}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{an}是等差数列． 【考点】数列的应用
【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质，
an?3?an?2?an?1?an?1?an?2?an?3?(an?3?an?3)?(an?2?an?2)?(an?1?an?1)??2?3an，根据
“P(k)数列”的定义，可得数列{an}是“P（3）数列”；
（2）由已知条件结合（1）中的结论，可得到{an}从第3项起为等差数列，再通过判断a2与a3的关系和a1与a2的关系，可知{an}为等差数列．
【解答】解：（1）证明：设等差数列{an}首项为a1，公差为d，则an?a1?(n?1)d， 则an?3?an?2?an?1?an?1?an?2?an?3， ?(an?3?an?3)?(an?2?an?2)?(an?1?an?1)， ?2an?2an?2an， ?2?3an，
?等差数列{an}是“P（3）数列”；
4时，（2）证明：当n…因为数列{an}是P（3）数列，则an?3?an?2?an?1?an?1?an?2?an?3?6an，
①
因为数列{an}是“P（2）数列”，所以an?2?an?1?an?1?an?2?4an，② 则an?1?an?an?2?an?3?4an?1，③，
②?③?①，得2an?4an?1?4an?1?6an，即2an?an?1?an?1，(n…4)，
2014-2019年高考数学真题分类汇编专题7：数列4(较难综合解答题)3带详细答案
