数学分折(3)教学大纲 - 重庆邮电大学精品课程管理平台

数学分析（3）（Mathematical Analysis(3)）教学大纲

一、课程编号：040503 二、课程类型：必修课

学时/学分：48学时/3学分

适用专业：理科（非数学）本科专业，如信息与计算科学专业 先修课程: 数学分析（1）；数学分析（2） 三、课程性质与任务

数学分析（3）是理科（非数学）本科专业（如信息与计算科学专业）的一门重要基础课，

立足于有限维空间的函数分析。开设本课程的目的是使学生获得较系统的函数分析的基本概念、基础理论、基本方法和基本技巧，培养学生逻辑推理能力、运算能力、创新思维能力、自学能力、分析问题和解决问题的能力，为后继课程提供必要的知识，为对学生素质培养发挥作用，为进一步学习现代数学方法奠定必要的基础。

四、教学主要内容、基本要求及学时分配

说明1：教学基本要求分为“掌握”、“理解”、“了解或会”三个层次。所谓掌握是指对基本概念要理解其实质并能给出直观背景，还能从正反两方面进行讨论；对基本理论要比较熟悉其论证过程，能应用之作较好的推理论证及分析问题；对基本方法要达到比较熟练的程度，能应用之作较好的运算和解决应用问题的能力，还能比较恰当的、灵活的运用基本技巧。所谓理解是指对概念只要求能从正面理解，对基本理论能应用和了解其证明；对基本方法要求能应用，不要求熟练的技巧性。所谓了解是指对概念只要求知道其意义，对基本理论只要求会应用，不要求证明，对基本方法只要求会做，不要求技巧性。

说明2：附表（一）所列单元讲授的次序和时数安排在不影响基本要求的前提下可作适当调整。其中带*号的内容，供教学时选用。

表（一）

单元 内容 主要教学内容 含参复量的积分 教学要求 1、了解含参积分定义的函数的分析性质 含参变2、了解含参无穷积分一致收敛的定量的积含参复量的广义积分 义、性质和判别法 分与广（一致收敛的定义，一致收敛积分的判1、会用积分号下的可微性与可积性义积分 别法，欧拉积分，*阿贝尔判别法，狄立计算某些定积分与广义积分 克莱判特别法） ???x24、记住?oedx的结果 1

二重、三重积分的概念 二重积分的性质 二重积分的计算（化二重积分为二次积分，用极坐标计算二重积分，二重积分的一般变量替换） 三重积分的计算（化三重积分为三次积分，三重积分的变量替换） 重积分在物理上的应用（质心，矩、引力） 广义重积分 第一类曲线、曲面积分的定义、性质 第一类曲线积分的计算 第一类曲面面积分的计算（曲面面积，化第一类曲面积分为二重积分） 第二类曲线积分（变力作功与第二类曲线积分的定义，第二类曲线积分的计算，两类曲线积分的联系） 第二类曲面积分（曲面的侧的概念，第二类曲面积分的定义，两类曲面积分的联系及第二类曲面积分的计算） 各种积分间的联系（格林公式、高斯公式、斯托克斯公式） 曲线积分和路径的无关性 重 积 分 1、注意二重、三重积分的定义 2、可积条件、性质等是定积分定义，可积条件、性质在二维、三维空间的推广 3、能根据二维，三维空间的积分区域的特征，进行适当的变换和选取适当的累次积分次序正确确定积分上下限，迅速准确计算出结果 4、了解二、三重积分的应用 曲线积分和曲面积分的计算 1、 注意第一型曲线积分是定积分的推广，第一型曲面积分是二重积分的推广 2、 掌握一型、二型曲线积分的概念和物理意义，掌握一型、二型曲面积分的定义和性质 3、 掌握计算一型、二型的曲线与曲面积分的方法 各种积分间的联系和场论初步 无限维分析简介 1、注意格林公式是沟通区域上二重积分与该区域边界（封闭曲线）上曲线积分之间的桥深；高斯公式是沟通三重积分与第二型曲面积分之间的桥梁，斯托克斯公式是沟通二型曲面积分与空间第二型曲线场论初步（场的概念、向量场的散度与积分之间的桥梁 旋度，*保场守、算子。） 2、理解梯度，散度，旋度的概念及其物理意义，并能用之计算一些简单问题 空间概念 面积空间与Hilbert空间 了解内积空间、Hilbert空间、Banach空间的结构、算子理论及其应用 赋范空间与Banach空间 Hilbert、Banach空间上的算子

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五、课程内容的重点，深广度要求及对学生课外作业要求

见下表（二）

表（二）

授课内容摘要 课内 （含授课内容，参考书，重点、难点及基本要求 次 序 学时 自学提纲，学习方法等） 了解含参积分定义函数的分 1 第十七章 含参变量积分 2 析性质 会用积分号下可微与可积性 2 第十七章 含参变量积分 2 计算某些定积分与广义积分 了解含参广义积分一致收敛第十八章 含参变量的广的定义，性质 3 2 了解含参广义积分一致收敛义积分 的判别方法 第十九章 积分（二重、掌握二、三重积分，第一类曲 4 三重积分，第一类曲线、2 线曲面积分的概念 曲面积分）的定义和性质 熟悉二、三重积分，第一类曲 5 第十九章 积分的性质 2 线曲面积分的性质 第二十章 重积分的计算掌握化二重积分为二次积分 6 及应用 2 的方法 §1 二重积分的计算 掌握化二重积分为二次积分 7 §1 二重积分的计算 2 的方法 掌握二重积分的极坐标计算 8 §1 二重积分的计算 2 法 理解二重积分的一般变量替 9 §1 二重积分的计算 2 换方法 掌握化三重积分为三次积分 10 §2 三重积分的计算 2 的方法 掌握三重积分的球面坐标和 11 §2 三重积分的计算 2 柱面坐标计算 方法 §3积分在物理上的应了解二三重积分在物理上的 12 2 用 一些应用 了解广义重积分的概念及计 13 §4 广义重积分 2 算 第二十一章 曲线积分和曲面积分的计算 掌握第一类曲线积分的计算 14 2 §1 第一类曲线积分的方法 计算 §1 第一类曲线积分的掌握第一类曲线积分的计算 15 2 方法 计算 周 顺

课外完成的作业 P231 1，2 P231 3 P244 1，2，3 补充作业 P253 1，2，3，4 P272 1，2 P273 3，4，5 P274 7，11 P274 8，9，10 P285 1，2 P285 3，4，5 P291 1，2，6 P294 1，2 P299 1，2，3 P299 4，5，7 1

16 §2 第一类曲面积分的计算 2 2 2 2 2 2 2 2 17 §3 第二类曲线积分 18 §4 第二类曲面积分 19 第二十二章 各种积分间的联系和场论初步 掌握第一类曲面积分的计算P309 1，2 方法 掌握第二类曲线积分的计算P321 1，2，6 方法及两类曲线积分的关系 掌握第二类曲面积分的计算P334 1，2，3，4 方法及两类曲面积分的关系 掌握格林公式 掌握高斯公式 理解斯托克斯公式 P346 1，2 P348 7，8 P348 11 20 §1 各种积分间的联系 21 §1 各种积分间的联系 22 §2 曲线积分与路径无关 掌握曲线积分与路径无关的P355 1，2，3 条件 了解场的概念及有关计算 P372 1，3，6，7 23 §3 场论初步 24 机动 六、本课程与后续课程的关系

本课程是常微分方程、复变函数、泛函分析、数理方法、概率论等后续课程的必要基础。

七、对学生能力培养的要求：

通过本课程学习，主要培养学生逻辑推理能力、运算能力、创新思维能力、自学能力、

分析问题和解决问题的能力。

八、教材及主要参考书

1、教材：数学分析，复旦大学数学系陈传璋等编，高教出版社。 2、参考书：

（1）数学分析，华东师大数学系编，高教出版社 （2）数学分析，陈纪修等编，高教出版社 （3）数学分析，刘玉琏等编，高教出版社 （4）工科数学分析，王绵森等编，，高教出版社

（5）高等数学，同济大学数学教研室编，高教出版社 （6）高等数学，四川大学数学系编，高教出版社

九、教学方法和教学媒体的使用

1、探索“问题解决”教学法； 2、用GX理论指导教学；

3、用多媒体课件辅助教学（用来突出体现书本和黑板难以表现的方面，如书本上已有的某些较长的定义或定理的证明，一些复杂的难以计算的问题）。

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十、学习方法与建议：

1、抓住教学分析与初等数学联系与差异； 2、注意数学分析学习的四个环节：

①、预习，②听课（分析联系与差异，讲练结合，处理好听课与记笔记的关系），③复习，④作业；

3、主动学习、自觉拓展、积极思考、创新学习、注意知识、能力、数质三者的和谐整体发展。

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