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StevenGP提出了渐进结构优化法。1999年Bendsoe和Sigmund证实了变密度法物理意义的存在性。2002年罗鹰等提出三角网格进化法，该方法在优化过程中实现了退化和进化的统一，提高了优化效率。
2.2.2 应用研究现状：在前人提出的重要理论基础上，后人也将其跟其他现代设计的方法相结合，衍生出了其他一些拓扑结构优化方法：如与可靠性相结合的情况下，MAUTE等应用变密度法并结合可靠性分析对一微机电系统进行了基于可靠性的拓扑优化设计，PAPADRAKAKIS等将遗传算法应用于具有可靠性约束的桁架结构拓扑优化设计中，国内学者马洪波也对基于遗传算法的结构可靠性优化问题进行了讨论。华南理工大学机械工程学院欧阳高飞等对基于水平集方法的结构可靠性拓扑优化进行了研究。
2.3研究目标：
2.3.1 设计目标：设计一悬臂梁在自由端受到竖直向下集中力P的作用，要求保持悬臂梁长度尺寸不变。
2.3.2 优化目标：在满足以上条件情况下对原实体悬臂梁做结构拓扑优化设计，使其结构刚度最大、重量最轻。（优化的结果应该使原设计区域产生孔洞，使结构拓扑发生变化。）
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优化目标分析：要使梁满足以上条件情况必须同时兼顾重量和刚度问题。重量太轻不能满足刚度问题。刚度太大又必须足够的材料以满足其要求。将两个因素进行耦合分析，我们可以得出的结论是必须通过结构层次来进行优化。连续体结构拓扑优化较成熟的方法主要有均匀化方法、变密度方法和渐进结构优化法，通过综合比较我们最终选用变密度法。
2.3.3实现方法：本文在对题目进行分析后，决定从两个独立的方向来分别研究，以此来互相验证，保证结果的可靠性。实验中要使用ansys和matlab两种软件分别独立进行优化分析，然后将两种结果来进行比较。
2.3.4实践目标：通过这次的作业我们期望通过搜索资料，团体讨论，分组作业的方式，以期望达到对拓扑优化的方法和过程有个具体的了解和学习。另外对分析软件的应用能够达到一个新的高度。这些不仅能使我们现在的知识体系得到充实和优化，而且也是我们今后人生的财富
2.4研究内容
2.4.1问题描述
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如图所示，悬臂梁在自由端受到竖直向下集中力P的作用，要求在保持悬臂梁长度尺寸不变的情况下对原实体悬臂梁做结构拓扑优化设计，优化目标是使结构刚度最大、重量最轻。（优化的结果应该使原设计区域产生孔洞，使结构拓扑发生变化。）
原实体悬臂梁横截面为矩形，矩形宽度为0.2m，悬臂梁的材料为45钢，密度ρ为7.8×10-6kg/mm3，弹性模量E=2×105MPa，许用切应力[τ]=60MPa。竖直向下集中力为P?1.5?10N。
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图 悬臂梁受集中力作用（单位：m）
2.4.2问题转化
本研究中，要求在保持悬臂梁在结构尺寸不变的情况下，使悬臂梁的刚度最大、质量最轻。
一般悬臂梁都为三维立体结构，载荷是在竖直方向上加载的，所以在垂直纸面方向上，并且在悬臂梁的对称平面上加载，根据材料力学知识可知，所加载在和只对加载区周围较小范围内产生影响，其余部分与加载形式无关。其受力与如
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图所示平面的手里相同，故可以将问题抽象为平面问题来处理。
当占有区域S的一个结构上作用有强度为P ( S )的载荷时,使结构具有最大刚度的问题和使结构所受外力功W 具有最小值的问题是等价的。结构所受的外力功W 与结构变形能C之间的关系为W = 2C，所以我们可以将该问题处理为求在一定的约束条件下，该悬臂梁的的最小变形能最小的问题。 2.4.3数学模型：
该问题中，要求同时满足刚度最大，质量最轻，这两个变量若同时改变，则问题复杂度太大，并亲切可能导致问题不可求解。所以我们采用在确定的质量下，来讨论刚度最大的问题。由于对特定的材料，其质量和体积有一定的关系，并且我们采用去除法的思想来建立模型的，故我们可以采用给优化后的体积与优化前的体积比赋确定的值，来达到在给定质量条件下满足刚度最大的问题。其数学模型如下：
注：其中C（x）为结构变形能，U为结构变形总位移矩阵，K为结构总刚度矩阵，N为划分单元总数，
ue 为单元位移向量，
ko为单元刚度，
（由于划分单元的时候，我们采用等分举行单元，所以个单元的刚度可用一个常量来处理）V(x)是拓扑结构优化过程中变化着的体积，V0为未经
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过优化前悬臂梁的体积。F为结构所受的总载荷。x为悬臂梁的相对密度。
2.4.3模型分析求解：
该问题的优化方法有很多种，常用的有如下方法： Optimality Criteria(OC) methods,（优化准则方法）
Sequential Linear Programming (SLP) methods（序列线性规划法） Method of Moving Asymptotes (MMA bySvanberg 1987)等 为了简化问题的复杂度，此处我们采用standard OC-method.方法来实现。
在处理过程中，关于设计变量相对密度x每一步的更新，我们采用
在1995年提出的如下算法来实现：
注：其中m是移动限制量，即相对密度变化的最大步长，更新条件中，加上最小边界条件判断，是防止相对密度变为0，使问题出现奇异；加上相对密度最大边界条件判断，是为了防止出现相对密度大于1，是问题是去物理意义。?是数值阻尼系数。
根据MATLAB和ANSYS的悬臂梁拓扑优化
