实验报告 捕鱼业持续的收获
【实验目的】
1．了解鱼量增长的基本规律。
2．学习用Logistic模型解决问题，初步掌握对变量进行预测和控制。 3．学习掌握用MATLAB命令求解捕鱼业如何持续收获问题。
【实验内容】
渔业资源是一种再生资源，再生资源要注意持续开发，不能竭泽而渔，而应在持续稳定的前提下追求产量或经济效益的最优化。所以需要在现有实验数据或模型的基础上找出鱼类产量增长的规律并解决产量与经济效益（鱼的价格在不同时节会有变化）的整体关联，从而找出最佳捕鱼时机与璞玉数量的可行方案。
【实验准备】
渔业资源是一种可再生资源，我们需要注意可持续开发，即在持续稳定的前提下追求产量或经济效益的最优化。渔场中的鱼量在天然的环境下按一定的规律增长，如果捕捞适度,那么渔场鱼量将保持不变，这个捕捞量就可以持续。从市场经济环境下供需关系是影响产品价格的主要因素的思路出发，建立持续稳产下的效益模型。但实际上并不是产量越高经济效益就一定越好，而是要综合考虑市场、鱼量等各种因素，从而找到最优经济效益下的捕捞方式，对现实生活有一定的指导意义。实验中需要用到Logistic模型，但Logistic模型其实是在无捕捞条件下随时间t而改变的渔场鱼量x(t)的服从规律。而我们需要得到的是在捕捞情况下随时间t改变的渔场鱼量x’(t)的服从规律。
1．Logistic模型基本概念
设x(t)为时刻t的鱼的总量，则有dx/dt=rx(1-x/N)，其中r是固有增长率，N是环境容许的最大鱼量。
2.捕捞情况下鱼量的增长模型
试验中假定采用线性捕捞方式，即单位时间的捕捞量与渔场鱼量x(t)成正比，比例常数E表示单位时间捕捞率，又称捕捞强度。于是单位时间的捕捞量为
h(x)=Ex 根据以上假设并记
F(x)=f(x)-h(x) 得到捕捞情况下渔场鱼量满足的方程
dx/dt=F(x)= rx(1-x/N)-Ex
所谓持续捕捞：就是适当地确定捕捞强度E，使渔场的鱼量能够维持在一个适当水平上，不至于枯竭。这对应着选取适当捕捞强度E，使得方程dx/dt=F(x)= rx(1-x/N)-Ex有非零的稳定平衡点。从实际意义上看，这应该是能够做到的。
方程dx/dt=F(x)= rx(1-x/N)-Ex的平衡点为x0=0,x1=N(1-E/r),它们与r.N和E有关。
3.效益模型
从经济角度看不应追求产量最大，而应考虑效益最佳。如果经济效益用从捕
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捞所得的收入中扣除开支后的纯利润来衡量，并且简单地假设：鱼的销售单价为常数p,单位捕捞率（E）所需的费用为常数c,那么单位时间的收入T和支出S分别为
T=ph(x)=pEx, S=cE 单位时间的利润为
R=T-S=pEx-cE
在稳定条件x=x0下，以x0=N(1-E/r)代入R=T-S=pEx-cE得 R(E)=T(E)-S(E)=pNE(1-E/r)-cE
用微分法求出使利润R(E)达到最大的捕捞强度为 Er=r/2(1-c/pN)
将Er代入x0=N(1-E/r)可得最大利润下的渔场稳定鱼量Xr及单位时间的持续产量Hr为
Xr=N/2+c/2p
Hr=rXr(1-Xr/N)=rN/4[1-(c/pN)2]
【实验方法与步骤】
渔场的固有增长率r=4.4,最大承载能力N=50,采用线性捕捞策略Ex，分析捕捞强度对持续捕捞的影响从几个特殊值入手，下取E=0.5,2.2,6.5进行分析。
取E=6.5,用Matlab绘制定性分析图。程序及结果如下所示： clf,clear,N=50; r=4.4;E=[0.5 2.2 6.5];x=linspace(0,N,30);
f1=r*x.*(1-x/N);plot(x,r.*x,':','linewidth',2),axis([0 50 0 80]),hold on text(x(10),r*x(10),['\\leftarrow y=rx, r= ',num2str(r)]) for i=1:3 f2(i,:)=E(i)*x;
text(x(5),f2(i,5),['\\leftarrow y=',num2str(E(i)),'x']) end
plot(x,f1,x,f2),hold on,
text(x(22),f1(22),['\\leftarrow dx/dt=rx(1-x/N)']),xlabel('x'),ylabel('dx/dt')
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【结果分析】
Matlab程序及其运行结果如下： clf,clear,N=50; r=4.4;E=[0.5 2.2 6.5];x=linspace(0,N,30);
f1=r*x.*(1-x/N);plot(x,r.*x,':','linewidth',2),axis([0 50 0 80]),hold on text(x(10),r*x(10),['\\leftarrow y=rx, r= ',num2str(r)]) for i=1:3 f2(i,:)=E(i)*x;
text(x(5),f2(i,5),['\\leftarrow y=',num2str(E(i)),'x']) end
plot(x,f1,x,f2),hold on,
text(x(22),f1(22),['\\leftarrow dx/dt=rx(1-x/N)']),xlabel('x'),ylabel('dx/dt')
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该曲线在原点的切线y=rx(r=4.4)和直线y=Ex(E=6.5).注意dx/dt=F(x)= rx(1-x/N)-Ex，所以直线y=Ex和曲线y=rx(1-x/N)的交点之横坐标对应着方程的平衡点。若直线在曲线下方，鱼量x是增长的；否则将是减少的。
从图中可知，当E=6.5>r=4.4时，即捕捞强度大于鱼量的固有增长率，直线y=Ex在y=rx的上方，这时y=Ex与曲线y= rx(1-x/N)的交点为x0=0,在此种情形下，该平衡点是稳定的。这就是说，过度捕捞将逐渐使鱼量趋于枯竭，得到了合理的结论。
因此持续捕捞的条件应该是E 由于单位时间产量为y=Ex，当y=Ex与抛物线y= rx(1-x/N)在顶点处相交时可以达到最大产量，此时稳定的平衡点为x1*=N/2，计算可得捕捞量为h*=rN/4。 为了研究渔业的产量.效益和捕捞过渡问题，首先在对于的自然增长和捕捞情况的合理假设下，建立渔场鱼量的基本方程得dx/dt=F(x)= rx(1-x/N)-Ex，并利用平衡点稳定性分析确定了保持渔场鱼量稳定的条件。再在几个模型在稳定的前提下步步深入，进行数学推导，得到在定性关系上与实际情况完全符合的结果。 如果改变对鱼的自然增长和人工捕捞的假设，模型及结果将随之改变。 206
捕鱼业持续的收获
