拖缆水动力学的正问题与反问题研究

拖缆水动力学的正问题与反问题研究

张大朋1，朱克强1，牛天鑫1，王自发2

【摘 要】摘要：基于不可压缩流体中受到水动力曳力作用下的不可伸长的挠性缆索的二维运动模型，研究了在海洋地震勘探中重构与流线型拖缆冲击的海流速度的问题。首先介绍了正问题模型，并在已知拖船运动和水动力载荷的条件下对拖缆的速度、曲率和张力进行了求解。然后，通过离散缆索形状和张力的样本值，提出了推断到海流速度的反问题，并发现这个反问题是缺秩和不适定的。在鲁棒离散噪声信号的背景下，解决逆问题数值稳定问题，采用了基于广义Tikhonov正则化算法。为了验证该方案的实用性，给出了一些用模拟噪声数据重建海流的例子。 【期刊名称】水道港口 【年(卷),期】2016(037)004 【总页数】10

【关键词】拖缆水动力学；海流速度重组；病态反问题

对于拖曳线列阵来说，海流速度对于优缆索线型非常重要。根据海流作用在拖缆上的水动力去研究拖缆的空间几何形态及张力已经在国内外大量的文献中有详细的论述与研究［1-6］，这就是所谓的拖缆水动力学的正问题；而拖缆水动力学的反问题是通过已知的拖缆的空间几何形态及其张力去反推出拖缆周围的海流流速分布情况，这在国内学术界内相关研究资料较少。这就在逆参数辨识问题背景下提出了一个问题，即通过定位及张力测量来重现沿拖缆海流流速分布图。

本文选择了一个简单的拖缆二维运动模型，首先提出了正演模型来描述在水动

力作用下缆索运动，简单讨论了几种有限差分解法。然后通过积分方程重构正演模型推导出反问题，并用广义Tikhonov正则化解决。以奇值分析和敏感性讨论为背景，概述了反问题的数值特征，还解决了阻力系数中涉及到的噪声鲁棒性和不确定性。并用仿真算例验证了该方法。计算结果表明，该方法对实际的工程实践有一定指导意义。

1拖缆正问题水动力学模型

忽略惯性项，在切向-法向的坐标系中，给出拖缆的牛顿运动定律以及动量方程 为表示缆索的形状和方向对于相应的速度分量的影响，给出缆索的运动学方程 式中：T（s，t）指在时间t时，与拖曳点距离为s处的张力；ρ为海水密度，d为缆索直径，Ct为切向阻力系数，Cn为法向阻力系数，θ（s，t）为指s上的切向量和x轴正方向之间的方位度，?θ/?s为缆索曲率。缆索在切向和法线方向上的相对速度分别用Vtr（s，t）和Vnr（s，t）来表示，对应的海流速度为u（s，t）和v（s，t），Vt（s，t）和Vn（s，t）分别为缆索的切向绝对速度和法向绝对速度。

抛物形方程组（1）～（4）是从笛卡尔坐标系（X，Y）以θ角通过正交变换到二维坐标系（t，n）得到的。其中，t（s）是指缆索上在s点的单位切向量，n（s）是指单位法向量。拖曳系统的构型如图1所示。

如果系统在初始状态是静止的，4个边界条件完全在系统中实施。缆索铰接于拖船，缆索前端速率是

式中：θ（0，t）为缆索起始端的方位角，v1（t）和v2（t）是在时间t时船速在笛卡尔坐标系下的分量，在这里设定v1和v2的合速度v船合=2.57 m/s。注意到根据条件（6）～（7）以参数形式给出的缆索速度的边界信息，而给出

缆索速率的边界信息，需要预先知道拖曳点的角度以确定该点的速度。如图1所示，在缆索和拖船铰接的部位，拖船的速度就是缆索在此点的速度，而随着缆索离铰接点位置越来越远，沿缆索长度方向某一位置的速度与拖船的速度相差越来越大。

参考文献：［7-9］中考虑尾端（自由端）的张力为0，这样的话，从理论上来说，作用力和时间段的总和也会随之消失。然而，在震动缆索的尾部，通常装备有一个附在表面浮标来获取一尾部的拖曳力［10］。事实上，这个拖曳力包含一个作为张力分布曲线的下端边界的尾部张力，与缆索速度成线性关系 假设在速度为2.57 m/s时，TL=2 000 N，再者，假定角度的变化率为零，即 其中式（8）、式（9）中的L为缆索长度。根据式（8）和式（2）可以推断缆索在尾端的法向速度只是取决于横向海流。

结合上述条件，在模型的数值实现中，假设缆索横截面d是均匀的、各向同性的、弹性的且是不可伸长的，并忽略其剪切变形和动量项。

2正问题的数值解

应用有限差分法得到方程组（1）～（4）和（6）～（9）的数值解。特别地，首先，用时间上的有限差分将空间-时间问题被转化为一个空间上的两点边值问题，然后将得到的非线性微分方程用一阶泰勒级数展开来逼近，这样可以得到一个线性的两点边值问题。最后的代数方程组可以用牛顿法来解决［11］。Hughes［12］采用了一种基于广义梯形法的隐式格式。Gatti详细地论述了参数的选择对稳定性和精度的影响［13-14］。而Ablow使用的盒子方法（box method）是有条件稳定的［15］，Gobat和Grosenbaugh采取基于盒子方法的广义α算法，通过增强额外的时间均衡来校正不稳定性［16］。正问题的控