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对球壳 r ，从O到R积分：，而
所以 结论：球杆应打在距球心高 处为最佳。
☆ 补充：
为何滚动而不滑动的时候会有 ？ ∵滚动而不滑动
∴质心的位移等于弧长 ，
牛吃草问题
有一头牛，被栓在一个半径为 r 的木桩上﹙如下图所示﹚绳子的一端被固定在A点，而牛能够走到木桩的对面B。木桩的外部都是草地，请问牛有办法吃到多少草呢？
解答：
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图一
经由观察我们发现牛能吃到草的围如右图的斜线部份﹙见图二﹚。 由题意知绳长为，而在点左边的区域会是一个半圆。至于剩下的区域怎么求得呢？当绳子被木桩\拌住 \的时候﹙见图三﹚。
牛所达到的最远处为，其中弧长加直线长为﹙绳子的长度﹚，而曲线即所有这种点所形成的轨迹。
图二 图三
我们可以利用解析几何将轨迹描述出来：
取木桩的中心为原点，令与的夹角为θ﹙如图四﹚，于是点坐标为，而？ 是圆在点上的切线段，所以，待定， 而 长度要等于弧长 ，于是 ，解得 ， 所以点坐标即确定：
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图四 图五
我们可先计算图五的斜线面积，它会是以下所表示的积分值：
﹙其中为周期函数，故﹚
∴ Area
至此可得吃草的围
＝上下两块Area加上左半圆扣掉木桩面积 ＝
补充：图五中弧称为圆的渐伸线﹙involutes﹚
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﹙平方单位﹚
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微积分在物理竞赛中的应用
