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面积为，所以有
为一比例常数，由于体积随时间经过而减少，可知
为常数，由，，可解出，由此可看出雪球的半径随时间经过等速率减少，雪球完全融化时，
所以雪球在10分钟后完全融化。
雨中行车
若你驾驶一辆风玻璃与地面垂直的吉普车欲从甲地到乙地，此时天正下着雨，假设所有雨滴皆以速度 u 垂直落下，且均匀的分布在空气中，请问你是该开的快一点或是慢一点，才能使落在挡风玻璃的雨水总量最少？
解答：
图一
假设每立方公尺中有α克的雨水，若车子以速度 v 前进，以车子为标准坐标来看，则雨水以水平速度 v，垂直速度 u 朝车子而来,假设速度与水平夹角θ，则对单位面积的挡风玻璃来说，在 到 间，落在其上的雨水正好是 时，单位面积上高为 ，倾斜角度θ的圆柱的水﹙如图二﹚
图二
总共有克，所以单位时间单位面积所接收的雨水为 ，若甲到乙地距离 ，挡风玻璃总面积 ，则从甲以等速 v 开车到乙挡风玻璃所接收的雨水共有
为一常数，与 无关。
若并非以等速行车，结果又会是如何呢？假设 v 为 t 的函数，写成 ，单位时间单位面积接收的雨水为 ，假设在 时间后从甲到达乙，则 。则从甲到乙所接收的总雨量为 依然是一个常数，与 v 无关，也就是说不管怎么开，落在挡风玻璃上总雨量都是固定的。
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工人拉船
码头上，有一个圆筒状铁柱，从船上抛出一根绳子，一端固定在船尾，另一端绕铁柱三圈后由一工人拉着，假设工人施力10公斤，绳子与铁柱的磨擦系数是1/3，请问船尾受力多大？
解答：
在绳子与铁柱有 的接触时，拉力 会提供 ﹙接近 ﹚的正压力给铁柱，所以有 ，积分得 ，其中 就是10公斤，，而 ，所以 。
录音带
如果你曾注意过收音机带动录音带的情形，相信你会发现在收听﹙或者快转﹚的时候，在左方的轮子会逆时针旋转，以带动磁带，而原本在右方的磁带地方就会被一直带动，最后会绕到左方的轮子上。
现在我们考虑二个问题：两个轮子磁带半径的变化率之比为多少？ 如果我知道录音带从一开始﹙左方的轮子没有磁带，所有磁带都在右方的轮子上﹚转到一半 (左方的磁带量＝右方的磁带量﹚时，需要一分钟，并且轮 1 的转速始终保持一定值，那么录音带全部转完的时候需要几分钟呢？
解答：
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如果你曾注意过收音机带动录音带的情形时，就会发现到，在收听﹙或者快转﹚的时候，在 1 处的轮子会逆时针旋转，以带动磁带，而磁带原本在 2 的地方就会被一直带动，最后会绕到轮子 1 上。
现在我们想要考虑两个问题： 1. 记为1号轮子在 时刻所绕出的磁带的半径，为2号轮子在 时刻磁带形成圆形的半径，它们会随 而变化，那么两半径的变化率之比﹙即 ﹚为何？ 2. 如果我知道录音带从一开始﹙轮 1 没有磁带，所有磁带都在轮 2上﹚转到一半﹙轮 1的磁带量＝轮2的磁带量﹚时，需要一分钟，并且轮 1 的转速始终保持一定值，那么录音带全部转完的时候需要几分钟？ 第一个问题其实并不难，如果注意到磁带的总量始终保持一定，另一个角度想就是两磁带所绕出的两个圆形面积总和是固定的，于是会有 常数，对 微分后得到
第二个问题我们可以试着用积分的方法解决，首先注意到由于转速是一定﹙记为ω﹚，所以半径 是和 成正比，于是不妨令 ﹙比方说轮子每秒转10圈，那么一秒后半径就多了10个磁带的厚度，两秒后半径就多了20个磁带的厚度﹚另外，我们同样是以圆面积代表磁带量，所以 ﹙一分钟时转了总长的一半，是一比例常数﹚欲解 时的α值。
所以带子全部转完需要分钟。
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撞球问题
你知道撞球的时候球杆应该打在哪里最好吗？
解答：
观察1：
如果球杆打在撞球的中央﹙如图A处﹚则球有速度，但是无旋转的角速度，如此一来球和布会有摩擦， 布会坏掉，可见这不是最佳的点。
球杆应打在让球产生全滚动而不滑动，这是最佳的点。
观察2：
若球一开始有滑动，不久球会开始滚动，滚速会增加，移动速度会减少，而质心速度会增加，到最后会有 ，即滚动而不滑动，而摩擦力会消失。
一些记号：
：球的质心速度 ω：球转动的角速度 ：球的半径
：球的转动惯量 ：球的质量
由物理学的角度来看，一刚性物体的角动量变化率等于力矩之和，写成数学式即为 ，另外，角动量等于物体的转动惯量乘上角速度，也就是说 ，于是，用到撞球的例子上即为：
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注：
1.因为撞球的滚动是以贯穿球心的轴而转动，所以其转动惯量为(质心) 2.力矩 ，其中 是转动轴到施力点的方向向量，如果只关心力矩的大小，则
3.要达到全滚动而不滑动，则 ，动量的变化率最后必须全部转变为，瞬间达成。
所以
的值：
1.先计算空心球壳的转动惯量：
最后，计算出
(球壳上的点到轴的距离) (均匀球壳, 质量与面积成正比)
，。
2.计算实心球壳的转动惯量：
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微积分在物理竞赛中的应用
