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以等角速度ω旋转的液体，液面的形状如何求得？ 解答：
假设它的剖面是一条曲线，Y 轴是转轴，旋转面以 Y 轴为对称轴，此时在液面会得到一正压力 R，R可以同时提供向心力 ，，和重力
因此
其中 、 都是常数，因此该剖面的曲线是拋物线，液面形状是该拋物线绕 Y轴的旋转面。
直接求sin(x)的导函数
从几何上如何找到sin(x)的微分呢？ 解答：
dsin?直接求
d?.. .
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把θ变动△θ，sinθ从 变到 ，我们要了解 与△θ之比，△θ是一小段弦长，是斜线区域这个近似直角三角形的斜边，此 与△θ之比之比可以想成是 cosθ
四只苍蝇飞行问题
有四只苍蝇A,B,C,D分别位于平面上的﹙1,1﹚，﹙-1,1﹚，﹙-1,-1﹚，﹙1, -1﹚，之后它们一起以每秒1单位的速度行动，行动的方式为：
A苍蝇一直向着B苍蝇靠近， B苍蝇一直向着C苍蝇靠近， C苍蝇一直向着D苍蝇靠近，
D苍蝇一直向着A苍蝇靠近，试问：
.. .
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﹙1﹚四只苍蝇会在何处相遇？ ﹙2﹚它们多久会相遇？
﹙3﹚找出A苍蝇的行动轨迹，并大致画出。 ﹙4﹚计算A苍蝇从开始到相遇的路径长。 ﹙5﹚苍蝇A会有什么样的生理反应？
解答：
﹙1﹚、﹙2﹚：
从物理相对运动的点来看A的行进方向始终和B的行进方向保持垂直，你可以想象苍蝇移动了瞬间之后，方向就立即修正﹙参照图一、二、三﹚，由于四只苍蝇是做等速运动，所以每一时刻以四只苍蝇围出来的四边形会是正方形，﹙行进方向垂直加上等速﹚于是当时间愈久的时候，苍蝇愈来愈靠近，正方形愈来愈小，最后会缩成一点，这一点会是原点，这就是他们相遇的地方。此外，A靠近B是垂直方向靠近，所以从B苍蝇看来，A还是以 1 单位 / 秒 的等速向B靠近，原来A、B的距离是 2 单位，因此需要 秒的时间四只苍蝇会相遇﹙，，的推论都一样，∴四只会一起相遇﹚
图一 图二
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图三
﹙3﹚：
我们将苍蝇A的坐标位置用极坐标的方式表达，，而B的位置就是
要注意的是： 和 都是
的函数
而A的速度是
此向量要与 果﹚
平行，于是﹙如
，初始
值 ，，。 ( ) 其轨迹如下图所示
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事实上我们必须注意到，在 的情形下会有 的推论，我们不妨用积分式算出 时刻走了多少路： ﹙等式右边是速度乘上时间﹚，在 的时候，，\\。所以其实苍蝇A的轨迹应为
上述讨论要表达的是说，加上 这一点是需要的，并且加上那一点后，轨迹还是连续的﹙可以想一下如何定义在端点的连续性﹚
﹙4﹚：
由﹙3﹚
﹙5﹚：
由﹙3﹚得知在 到 2 的时候，，换言之，在之前已转了无限多圈，于是苍蝇会“头昏”。
雪球融化
假设雪球融化的速率与表面积成正比，若有一个半径为10公分的雪球，在气温气压皆固定的情况之下，在5分钟后融化为一个半径5公分的雪球，请问雪球完全融化需要多少时间？
解答：
假设此雪球在时间分钟时的半径为公分，由题意可知 ， ，又雪球融化的速率与表面积成正比，雪球融化的速率即雪球体积的变化率，雪球的体积为 ， 表
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微积分在物理竞赛中的应用
