..
mg?mtmgVy?(V0sin?0?)e?.
kk可见，y方向的速度也不再是匀减速的。再将上式对时间积分，并以t=0时y=0代入，
得到
?tmmgmgy?(V0sin?0?)(1?em)?t. （4）
kkkkk由（3）（4）两式消去t,得到有阻力时的轨道方程
mgm2gkm2gky?(tg?0?)x?2ln(1?)x?2ln(1?x).
kV0cos?0mV0cos?0mV0cos?kk显然由于空气阻力的作用，抛体的轨道不再是简单的抛物线了，实际轨道将比理想轨
道向左下方偏离，如图一。
例如：以初速620m/s,仰角45发射的步枪子弹的射程，没有空气阻力时应为40km,而实际射程只有4km.
0求解飞机的滑行距离
飞机以V0的水平速度触地滑行着陆。滑行期
间受到空气的阻力为
2CxV2，升力为CyV，其
中V是飞机的滑行速度。设飞机与跑道间的摩擦系数为?，试求： 飞机从触地到停止所滑行的距离。
解：取飞机触地点为
.. .
..
坐标原点，取飞机滑行方向为x轴。飞机在水平方向上受力为：摩擦力f??N，空气阻力
2为f??CxV；在竖直方向上受力为：重力、支持力和升力F?CyV2,如图一所示，应用
牛顿第二定律，得到
??N?CxV2?mdV dtN?CyV2?mg?0.
由上两式消去N，得到
dV???mg?(Cx??Cy)V2. dtdVdVdxdV利用??V,
dtdxdtdxdV得到mV???mg?(Cx??Cy)V2.
dxm分离变量，积分
xmVdV??V0?mg?(Cx??Cy)V2?0?dx， V?mg?(Cx??Cy)V2m得到x??ln[]. 22(Cx??Cy)?mg?(Cx??Cy)V0在飞机触地的瞬间，V?V0,支持力N=0,由运动方程，得到
CyV02?mg.
于是x??CyV022g(Cy??Cy)ln[?CyV02?(Cx??Cy)V2CxV02].
这就是飞机从触地到停止所滑行的距离。 社V0?90km/h,x=221m.
CyCx，??0.10。代入数值计算后，得到 ?5（升阻比）
求解阻尼自由落体和阻尼竖直上抛的相遇问题
两小球的质量均为m，小球1从离地面高度为h处由静止下落，小球2在小球1的正下方地面上以初速V0同时竖直上抛。设空气阻力与小球的运动速率成正比，比例系数为k(常量)。试求：
两小球相遇的时间、地点以及相遇时两小球的速度。
.. .
..
解：两小球均受重力和阻力作用，取坐标如图一所示，两小球的运动方程可统一表示为
d2ym2??kV?mg, dt它们运动状态的差别仅由于初始条件的不同而引起的，故
dVdt??kmV?g, 分离变量
dV?dt.
?kmV?g对于小球1，初始条件为t?0时，V10?0,y10?h,故
?V1dV??k?t0dt, mV?g0V??mg?kk(1?emt1). (1)
对于小球2，初始条件是t=0时，V20?V0,y20?0,故?V1dVtVdt, 0?k??0m?g得到V2?（Vmg?ktmg0?k）em?k. （2） 由（1）式，得到
dy?k1tdt??mgk(1?em), ?kdy??mgk(1?emt1)dt
?y1tkhdymg?t1??0?k(1?em)dt
积分，得到
.. .
..
?tm2gmgy1?h?2(1?em)?t.
kkk由式（2）得到
dy2mg?mtmg?(V0?)e?, dtkkmg?mtmgdy2?[(V0?)e?]dt
kkkk?y20mg?mtmgdy2??[(V0?)e?]dt
0kktk积分，得到
mmg?mtmgy2?(V0?)e?t
kkk两小球相遇时，y1?y2,相遇时间为t，由（3（4）两式，得到
?t*?t*mkhmh?V0(1?e)，em?1?,
kmV0k*kk故t??*mkhln(1?), kmV0把上述结果代入（3）或者（4），得到两小球相遇的地点
mgm2gkhy?(1?)h?2ln(1?).
kV0mV0k*代入（1）（2），得到两小球相遇时的速度
V1*??
mgkhgh[1?(1?)]??; kmV0V0V2*?(V0?mgkhmgghkh)(1?)??(V0?)?. kmV0kV0m讨论：（1）当阻力很小时，即当k?0时，利用展开式
x2ln(1?x)??x?,
2上述结果简化为
t*?h*ghgh*gh*;y?h?;V??,V?V?. 120V0V0V02V02.. .
..
这正是不考虑空气阻力时的结果。
（2）当考虑如提设的空气阻力时，由上述结果可知，只在下述条件下
mV0?kh,或者V0?kh, m两小球才有可能相遇。
在非惯性系中求解球环系统的运动情况
一轻绳的两端分别连接小球A和小环B，球与环的质量相等，小环B可在拉紧的钢丝上作无摩擦的滑动，如图一。现使小球在图示的平面摆动。求：
小球摆离铅垂线的最大角度?时小环和小球的加速度。
解：当小球摆动时，小环沿钢丝做加速运动。以小环B为参考系，则小球受重力和绳子拉力外，还受惯性力
F惯?maB的作用，如图二。其
加速度a?A沿圆弧的切线方向。在最大摆角为?时的运动方程为
T?F惯sin??mgcos??0,
mgsin??F惯cos??ma?A
小环B在水平方向的运动方程为Tsin??maB. 解方程，得到
aB?小球
gsin2?2gsin??,a?。 A222(1?sin?)(1?sin?)A
相对地的加速度
???aA?a??aAB，取如图二所示的坐标系，
则有
aAx?a?Acos??aB?
sin2?g,2(1?sin2?)aAy2sin2??a?g. Asin??(1?sin2?)旋转液体的液面
.. .
微积分在物理竞赛中的应用
