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求解在立体斜面上滑动的物体的速度
一物体放在斜面上，物体与斜面间的摩擦因数?恰好满足??tg?，?为斜面的倾角。今使物体获得一水平速度V0而滑动，如图一，求：
物体在轨道上任意一点的速度V与?的关系，设?为速度与水平线的夹角。
?解：物体在某一位置所受的力有：重力G，
弹力N以及摩擦力f。摩擦力f总是与运动速度V的方向相反，其数值
???f??N??mgcos??tg?mgcos??mgsin? ??重力在斜面上的分力为G1，如图二，将G1G1??是G1沿轨迹切线方向的分分解为两个分力：
????G1sin??mgsin?sin? ；G1?是沿力，G1轨
迹
法
向
的
分
力
，
???G1cos??mgsin?cos?，如图三。 G1根据牛顿运动定律，得运动方程为
G1???f?ma? （1） ??man （2） G1由（1），
a??而
1(mgsin?sin??mgsin?)?gsin?(sin??1) mdV,得到 dta??dV?gsin?(sin??1)dt, （3）
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式中?是t的函数，但是这个函数是个未知函数，因此还不能对上式积分，要设法在?与t中消去一个变量，才能积分，注意到
dt?dSV?1dsVd?d? （4） 而dsd?表示曲线在该点的曲率半径?，根据（2）式，
mgsin?cos??mV2? （5）
由式（3）（4）（5），可得到
dVV?(tg??sec?)d?, ?VdVV??(tg??sec?)d?，
0V?0积分，得到
lnVV??lncos??ln(sec??tg?)??ln(1?sin?)， 0V?V01?sin?.
运用积分法求解链条的速度及其时间
一条匀质的金属链条，质量为m，挂在一个光滑的钉子上，一边长度为L1，另一边长度为L2,而且0?L2?L1，如图一。试求：
链条从静止开始滑离钉子时的速度和所需要的时间。
解：设金属链条的线密度为??mL.当一边长度为
1?L2L1?x，另一边长度为L2?x时受力如图二所示，则根据牛
顿运动定律，得出运动方程
(L1?x)?g?T?(L1?x)?a,
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T?(L2?x)?g?(L2?x)?a.
则a?(L1?L2)?2xg.
L1?L2dVdVdxVdV，所以 ??dtdxdtdx因为a?VdV(L1?L2)?2x?g, dxL1?L2?V0VdV??x0(L1?L2)?2xgdx
L1?L2V?2g(L1?L2)x?x2.
L1?L2令x?L2,可以求得链条滑离钉子时的速度大小
V?2L1L2g
L1?L2dx,得到 dt再由V?dx?dt
2g(L1?L2)x?x2
L1?L2?xdx（L1?L2）x?x20??t02gdt,
L1?L2积分，得到
xln[2x?(L1?L2)?2(L1?L2)x?x2]0?2gt,
L1?L2ln2x?(L1?L2)?2(L1?L2)x?x2L1?L2?2gt,
L1?L2令x=L2,可以求得链条滑离钉子所需的时间为
t?
L1?L2L1?L2?2L1L2ln?2gL1?L2L1?L2ln2gL1?L2L1?L2.
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求解棒下落过程中的最大速度
在密度为?1的液体上方有一悬挂的长为L,密度为?2的均匀直棒，棒的下端刚与液面接触。今剪断细绳，棒在重力和浮力的作用下下沉，若?1??2，求：
棒下落过程中的最大速度。
?解：剪断细绳后，直棒在下沉过程中受到重力G和
?浮力F的作用，如图一所示。根据牛顿运动定律，有
mg?F?mdV. （1） dt随着棒往下沉，浮力逐渐增大。当直棒所受合力为零，即F?mg时，棒的加速度为零，速度最大。设棒达到最大速度时，棒浸入液体中的长度为L1，设棒的截面积为S，则有
?1SL1g??2SLg,
解得，
L1??2L. （2） ?1取x坐标如图所示，则（1）式可以写为
dV. dtdVdVdxdV做变量代换，令??V,代入上式，得到
dtdxdtdx?2SLg??1Sxg??2SL(1?x?1)gdx?VdV; L?2两边积分，得到
?L10V1x?1(1?)gdx??VdV
0L?2得到，gL1??1g121(L1)?V12 ?2L22将（2）式代入（3）式，得棒的最大速度为V1??2Lg. ?1.. .
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运用微分法求解阻尼平抛
质量为m的物体，以初速为V0，方向与地面成?0角抛出。如果空气的阻力不能忽略，
??并设阻力与速度成正比，即f??kV，k为大于零的常数。求：
物体的运动轨道。
解：根据受力情况，列出牛顿运动定律方程
???mg?f?ma
其分量式，fx??kVx?max, （1）
mg?kVy?may （2）
将ax?dVx代入式（1），得 dtdVx, dttdVxk???V0xVx?0mdt, Vx?kVx?m改写成
dVxk??dt,Vxmk?tm两边积分，得到
Vx?V0xeVx??V0cos??ek?tm.
可见由于空气阻力的存在，x方向的速度不再是常数，而随时间逐渐衰减。由于
dx,再积分，并以t=0时x=0,代入得到 dt?t?tVmVcos?0x?0x(1?em)?0(1?em). （3）
kkkk同理，由于ay?dVydt,式（2）转化为
dVydt?g?dVykkmgkVy?(?Vy),??dt.
mgmmkm?Vyk积分，并以t=0时，Vy?V0y?V0sin?0代入，得到
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微积分在物理竞赛中的应用
