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第4讲 函数的单调性与最值
★知识梳理
函数的单调性定义：
设函数y?f(x)的定义域为A，区间I?A
如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1?x2时，都有f(x1)?f(x2)，那么就说y?f(x)在区间I上是单调增函数，I称为y?f(x)的单调增区间
如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1?x2时，都有f(x1)?f(x2)，那么就说y?f(x)在区间I上是单调减函数，I称为y?f(x)的单调减区间
如果用导数的语言来，那就是：
设函数y?f(x)，如果在某区间I上f?(x)?0，那么f(x)为区间I上的增函数； 如果在某区间I上f?(x)?0，那么f(x)为区间I上的减函数；
1．函数的最大（小）值
设函数y?f(x)的定义域为A
如果存在定值x0?A，使得对于任意x?A，有f(x)?f(x0)恒成立，那么称f(x0)为y?f(x)的最大值；
如果存在定值x0?A，使得对于任意x?A，有f(x)?f(x0)恒成立，那么称f(x0)为y?f(x)的最小值。
★重、难点突破
重点：掌握求函数的单调性与最值的方法
难点：函数单调性的理解，尤其用导数来研究函数的单调性与最值 重难点：1.对函数单调性的理解
（1） 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须 先求函数的定义域；
（2）函数单调性定义中的x1，x2有三个特征：一是任意性；二是大小，即
x1?x2(x1?x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；
（3）若用导数工具研究函数的单调性，则在某区间I上f?(x)?0（f?(x)?0）仅是f(x)由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
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为区间I上的增函数（减函数）的充分不必要条件。
（4）关于函数的单调性的证明，如果用定义证明y?f(x)在某区间I上的单
调性，那么就要用严格的四个步骤，即①取值；②作差；③判号；④下结论。但是要注意，不能用区间I上的两个特殊值来代替。而要证明y?f(x)在某区间I上不是单调递增的，只要举出反例就可以了，即只要找到区间I上两个特殊的x1，x2，若x1?x2，有
f(x1)?f(x2)即可。如果用导数证明y?f(x)在某区间I上递增或递减，那么就证明在
某区间I上f?(x)?0或f?(x)?0。
（5）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数y?1分别在(??,0)x和(0,??)内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即(??,0)?(0,??)内是单调递减的，只能说函数y?1的单调递减区间为(??,0)和(0,??) x（6）一些单调性的判断规则：①若f(x)与g(x)在定义域内都是增函数（减函数），那么。②复合函数的单调性规则是“异减同f(x)?g(x)在其公共定义域内是增函数（减函数）
增”
2．函数的最值的求法
（1）若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。
（2）利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。
（3）基本不等式法：当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法（但有注意等号是否取得）。
（4）导数法：当函数比较复杂时，一般采用此法
（5）数形结合法：画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。
★热点考点题型探析
考点1 函数的单调性
题型1：讨论函数的单调性
?1,x?1,? [例1] (2008广东)设k?R,函数f(x)??1?xF(x)?f(x)?kx,x?R.
??x?1,x?1?试讨论函数F(x)的单调性.
[解题思路]分段函数要分段处理，由于每一段都是基本初等函数的复合函数，所以应该用导数来研究。
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?1?1,x?1,?kx??[解析]: 因为f(x)??1?x,所以F(x)?f(x)?kx??1?x,x?R.
??x?1,x?1??x?1?kx??1 (1)当x<1时，1-x>0，F?(x)??k,(x?1)
(1?x)2 ①当k?0时，F?(x)?0在(??,1)上恒成立，故F(x)在区间(??,1)上单调递增；
②当k?0时，令F?(x)? 且当x?1?1k，解得， x?1??k?0,(x?1)k(1?x)2kk时，F?(x)?0；当1??x?1时，F?(x)?0 kkkk 故F(x)在区间(??,1?)上单调递减,在区间(1?,1)上单调递增；
kk1?k,(x?1) (2)当x>1时， x-1>0，F?(x)??2x?1 ①当k?0时，F?(x)?0在(1,??)上恒成立，故F(x)在区间(1,??)上单调递减；
11?k?0,(x?1)，解得x?1?2， ②当k?0时，令F?(x)??4k2x?111?x?1?且当1?x?1?时，；当时，F?(x)?0 F(x)?0224k4k11)(1?,??)上单调递增； 故F(x)在区间(1,1?上单调递减,在区间224k4k综上得，①当k=0时，F(x)在区间(??,1)上单调递增，F(x)在区间(1,??)上单调递减；
1)上单调递减,在区间 ②当k<0时，F(x)在区间(??,1)上单调递增，在区间(1,1?24k1k(1?2,??)上单调递增；③当k?0时，F(x)在区间(??,1?)上单调递减,在区间
4kkk(1?,1)上单调递增,在区间(1,??)上单调递减.
k【名师指引】求函数的单调区间或研究函数的单调性是高考的一个热点，分段落函数用注意分段处理.
题型2：研究抽象函数的单调性
[例2] 定义在R上的函数y?f(x)，f(0)?0，当x＞0时，f(x)?1，且对任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）·f（b）. （1）求证：f（0）=1； （2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0； （3）求证：f（x）是R上的增函数； （4）若f（x）·f（2x－x2）＞1，求x的取值范围.
[解题思路]抽象函数问题要充分利用“恒成立”进行“赋值”，从关键等式和不等式的特点入手。 [解析]（1）证明：令a=b=0，则f（0）=f 2（0）.
又f（0）≠0，∴f（0）=1.
（2）证明：当x＜0时，－x＞0，
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∴f（0）=f（x）·f（－x）=1. ∴f（－x）=
1＞0.又x≥0时f（x）≥1＞0， f(x)∴x∈R时，恒有f（x）＞0.
（3）证明：设x1＜x2，则x2－x1＞0. ∴f（x2）=f（x2－x1+x1）=f（x2－x1）·f（x1）. ∵x2－x1＞0，∴f（x2－x1）＞1. 又f（x1）＞0，∴f（x2－x1）·f（x1）＞f（x1）. ∴f（x2）＞f（x1）.∴f（x）是R上的增函数. （4）解：由f（x）·f（2x－x2）＞1，f（0）=1得f（3x－x2）＞f（0）.又f（x）是R上的增函数，
∴3x－x2＞0.∴0＜x＜3.
【名师指引】解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是（3）中“f（x2）=f［（x2－x1）+x1］”是证明单调性的关键，这里体现了向条件化归的策略. [新题导练]
21．（珠海北大希望之星实验学校09届高三）函数f?x??log24x?x的单调递减区间是
??（ ）
A．(0,4); B．(0,2); C．(2,4); D． (2,??)
2[解析] C；由4x?x?0得0?x?4，又由u?4x?x2??(x?2)2?4知函数u在(2,4)2上是减函数，根据复合函数的单调性知函数f?x??log24x?x的单调递减区间是(2,4)
??2．（东皖高级中学09届高三月考）函数y?log1(x2?5x?6)的单调增区间为（ ）
2A．?，2) ??)；C．???，?；D．(??，???；B．(3，222[解析] D；由x?5x?6?0得x?2或x?3，又函数u?x?5x?6?(x?)??5?2????5?2?521 4在(??，2)上是减函数，y?log1u在(0,??)上是减函数，所以函数
22) y?log1(x2?5x?6)的单调增区间为(??，23. (2008全国Ⅰ卷)已知函数f(x)?x?ax?x?1，a?R． （Ⅰ）讨论函数f(x)的单调区间；
（Ⅱ）设函数f(x)在区间??，??内是减函数，求a的取值范围． [解析] （1）f(x)?x?ax?x?1；（2）a≥3232232?2?31?3?7 4（1）f(x)?x?ax?x?1求导：f?(x)?3x?2ax?1 当a2≤3时，?≤0，f?(x)≥0，f(x)在R上递增
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?a?a2?3当a?3，f?(x)?0求得两根为x?
32??a?a2?3?即f(x)在???，?递增，
??3????a?a2?3?a?a2?3???a?a2?3?，，???递增 ??递减，?????333??????a???（2）???a???a2?32≤?33a2?31≥?33，且a2?3解得：a≥7 4考点2 函数的值域（最值）的求法 题型1：求分式函数的最值
x2?2x?a[例3] （2000年上海）已知函数f(x)?,x?[1,??).
x1时，求函数f(x)的最小值； 211?2，这是典型的“对钩函数”，欲求其最小值， [解题思路]当a?时，f(x)?x?22x当a?可以考虑均值不等式或导数； [解析]当a?111?2,f'(x)?1?2 时，f(x)?x?22x2x?x?1，?f?(x)?0。?f(x)在区间[1,??)上为增函数。 ?f(x)在区间[1,??)上的最小值为f(1)?【名师指引】对于函数f(x)?x?7。 21?2,若x?0，则优先考虑用均值不等式求最小值，2x但要注意等号是否成立，否则会得到f(x)?(x?11)?2?2x??2?2?2 2x2x11，这时x?[,??) 2x2而认为其最小值为2?2，但实际上，要取得等号，必须使得x?所以，用均值不等式来求最值时，必须注意：一正、二定、三相等，缺一不可。其次,不等
式恒成立问题常转化为求函数的最值。本题考查求函数的最小值的三种通法：利用均值不等式，利用函数单调性，二次函数的配方法，考查不等式恒成立问题以及转化化归思想； 题型2：利用函数的最值求参数的取值范围
x2?2x?a[例4] （2000年上海）已知函数f(x)?,x?[1,??).
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高考数学函数单调性与最值试题选讲
