第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系
考试要求 1.理解空间直线、平面位置关系的定义；2.了解可以作为推理依据的公理和定理；3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.
知 识 梳 理
1.平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. (2)公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.
(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 2.空间点、直线、平面之间的位置关系
图形语言 符号语言 图形语言 符号语言 图形语言 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 a∥b a∥α α∥β 相交关系 a∩b＝A a∩α＝A a?α α∩β＝l 独有关系 符号语言 a，b是异面直线 3.平行公理(公理4)和等角定理 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 4.异面直线所成的角
(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
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[常用结论与易错提醒]
1.异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交. 2.直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”.
3.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.
诊 断 自 测
1.判断下列说法的正误.
(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线.( ) (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.( ) (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.( )
(4)若直线a不平行于平面α，且a?α，则α内的所有直线与a异面.( )
解析 (1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故错误.
(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误.
(4)由于a不平行于平面α，且a?α，则a与平面α相交，故平面α内有与a相交的直线，故错误.
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
2.(必修2P52B1(2)改编)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为( )
A.30° C.60°
B.45° D.90°
解析 连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求的角.又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°. 答案 C
3.在下列命题中，不是公理的是( ) A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
C.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 解析 选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的. 答案 A
4.已知直线a，b分别在两个不同的平面α ，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A.充分不必要条件 C.充要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由题意知a?α，b?β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面.因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件. 答案 A
5.若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是________. 答案 b与α相交或b∥α或b?α
6.如图所示，平面α，β，γ两两相交，a，b，c为三条交线，且a∥b，则a与c的位置关系是________；b与c的位置关系是________.
答案 a∥c b∥c
考点一 平面的基本性质及应用
【例1】 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点.求证：
(1)E，C，D1，F四点共面； (2)CE，D1F，DA三线共点.
证明 (1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥A1B. 又A1B∥CD1，∴EF∥CD1， ∴E，C，D1，F四点共面. (2)∵EF∥CD1，EF ∴CE与D1F必相交，设交点为P， 则由P∈CE，CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA.∴CE，D1F，DA三线共点. 规律方法 (1)证明线共面或点共面的常用方法 ①直接法，证明直线平行或相交，从而证明线共面. ②纳入平面法，先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内. ③辅助平面法，先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合. (2)证明点共线问题的常用方法 ①基本性质法，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质3证明这些点都在这两个平面的交线上. ②纳入直线法，选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上. 11 【训练1】 如图所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC綉AD，BE綉FA，G，H分别为FA， 22 FD的中点. (1)证明：四边形BCHG是平行四边形； (2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？ 11 (1)证明 由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH綉AD.又BC綉AD，∴GH綉BC， 22∴四边形BCHG为平行四边形. 1 (2)解 ∵BE綉AF，G为FA的中点，∴BE綉FG， 2∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG. 由(1)知BG綉CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面. 又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面. 考点二 判断空间两直线的位置关系 【例2】 (1)(一题多解)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( ) A.l与l1，l2都不相交 B.l与l1，l2都相交 C.l至多与l1，l2中的一条相交 D.l至少与l1，l2中的一条相交 (2)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号). 解析 (1)法一 由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交. 若l∥l1，l∥l2，则l1∥l2，这与l1，l2是异面直线矛盾. 故l至少与l1，l2中的一条相交. 法二 如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确. (2)在图①中，直线GH∥MN； 在图②中，G，H，N三点共面，但M?平面GHN，N?GH，因此直线GH与MN异面； 在图③中，连接GM，GM∥HN，因此GH与MN共面； 在图④中，G，M，N共面，但H?平面GMN，G?MN， 因此GH与MN异面.所以在图②④中GH与MN异面. 答案 (1)D (2)②④ 规律方法 (1)异面直线的判定方法 ①反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面. ②定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线. (2)点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系. 【训练2】 (1)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是( ) A.MN与CC1垂直 B.MN与AC垂直 C.MN与BD平行
浙江省2021届高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量第3节空间点直线平面之间的位置关系含解析
