例说三角形三边关系的几种典型运用
三角形的三条边之间主要有这样的关系：三角形的两边的和大于第三边，三角形的两边的差小于第三边．利用这两个关系可以解决许多典型的几何题目．现举例说明．
一、已知两边求第三边的取值范围
例1 用三条绳子打结成三角形(不考虑结头长)，已知其中两条长分别是3m和7m，问第三条绳子的长有什么限制．
解析 根据三角形三边之间关系定理和推论可得结论：已知三角形的两边为a、b，则第三边c满足|a－b|＜c＜a＋b．
设第三条绳子的长为xm，则7－3＜x＜7＋3，即4＜x＜10．故第三条绳子的长应大于4m且小于10m．
二、判定三条线段能否围成三角形
例2 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，4cm B．8cm，6cm，4cm C．12cm，5cm，6cm D．2cm，3cm，6cm
解析 根据三角形的三边关系，只需判断较小的两边之和是否大于最大边即可．因为6+4＞8，由三角形的三边关系可知，应选B．
例3 有下列长度的三条线段能否组成三角形？ （1）a－3，a，3(其中a＞3)； （2）a，a＋4，a＋6(其中a＞0)； （3）a＋1，a＋1，2a(其中a＞0)．
解析 （1）因为(a－3)＋3=a，所以以线段a－3，a，3为边的三条线段不能组成三角形．
（2）因为(a＋6)－a =6，而6与a＋4的大小关系不能确定，所以以线段a，a＋4，a＋6为边的三条线段不一定能组成三角形．
（3）因为(a＋1)＋(a＋1)=2a＋2＞2，(a＋1)＋2a=3a＋1＞(a＋1)，所以以线段a＋1，a＋1，2a为边的三条线段一定能组成三角形．
三、确定组成三角形的个数问题
例4、现有长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形
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的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解析 要确定三角形的个数只需根据题意，首先确定有几种选择，再运用三角形三边关系逐一验证，做到不漏不重．
由三角形的三边关系知：若以长度分别为2cm、3cm、4cm，则可以组成三角形；若以长度分别为3cm、4cm、5cm，则可以组成三角形；若以长度分别为2cm、3cm、5cm，则不可以组成三角形；若以长度分别为2cm、4cm、5cm，则也可以组成三角形．即分别为2cm、3cm、4cm、5cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为3，故应选C．
例5 求各边长互不相等且都是整数、周长为24的三角形共有多少个？
1(a211＋b＋c)．又a＋a＞b＋c，即2a＞b＋c．所以3a＞a＋b＋c，a＞(a＋b＋c)．所以，(a
33111＋b＋c)＜a＜(a＋b＋c)．×24＜a＜×24．所以8＜a＜12．即a应为9，10，11．由
232解析 设较大边长为a，另两边长为b、c．因为a＜b＋c，故2a＜a＋b＋c，a＜
?a?9,?a?10,?a?10,?a?11,????三角形三边关系定理和推论讨论知：?b?8, ?b?8, ?b?9, ?b?7,
?c?7,?c?6,?c?5,?c?6,?????a?11,?a?11,?a?11,????b?8,?b?9,?b?10, ?c?5,?c?4,?c?3.???由此知符合条件的三角形一共有7个．
四、确定三角形的边长
例6、一个三角形的两边分别是2厘米和9厘米，第三边长是一个奇数，则第三边长为______．
解析 先利用三角形的三边关系求出第三边的范围，然后再从所请求的范围内确定奇数即可．设第三边长为x厘米，因为9-2 例10 已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，求这个三角形的腰长． 解析 如图1，设腰AB=xcm，底BC=ycm，D为AC边的中点．根 1111据题意，得x+x＝12，且y+x＝21；或x+x＝21，且y+x＝12．解 2222A D B 图1 C - 2 - 得x＝8，y＝17；或x＝14，y＝5．显然当x=8，y=17时，8＋8＜17不符合定理，应舍去．故此三角形的腰长是14cm． 注意：本题有陷阱，即在根据题设条件求得结论时，其中可能有一个答案是错误的，即求出的三角形的三边长不满足三角形三边关系，需要我们去鉴别，而鉴别的依据就是三角形三边关系定理及推论． 五、化简代数式问题 例7、 已知三角形三边长为a、b、c，且|a＋b－c|＋|a－b－c|=10，求b的值． 解析 这里可运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，从而确定代数式的符号． 因a＋b＞c，故a＋b－c＞0`因a－b＜c，故a－b－c＜0． 所以|a＋b－c|＋|a－b－c|= a＋b－c－(a－b－c)=2b=10．故b=5． 三角形三边关系的应用 三角形的三边关系是：“三角形两边的和大于第三边”。这里的“两边的和”指的是“任意两边的和”，根据这一关系可判断已知的三条线段能否构成一个三角形。 方法：当线段a、b、c同时满足：a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b时，可以构成三角形．也可简化为：如果三条线段a、b、c从小到大排列，只要满足a+b大于c便可构成三角形． 例 以下列长度的三条线段为边，能组成三角形吗？ （1）6㎝，8㎝，10㎝； （2）5㎝，8㎝，2㎝； （3）三条线段之比为4:5:6； （4）a?1,a?2,a?3,(a?0) 分析：只需验证较小的两边的和是否小于较大边,即可作出判断． 解：（1）因为6+8>10,所以6㎝，8㎝，10㎝能组成三角形。 （2）因为5+2<8,所以5㎝，8㎝，2㎝不能组成三角形。 - 3 - （3）设这三条线段为4x,5x,6x(x?0),因为4x?5x大于6x，所以三条线段的比为4:5:6时，能组成三角形。 （4）因为a?1?a?2?2a?3,当a?0时,2a+3大于a+3，所以a?1,a?2,a?3,(a?0)能构成三角形。 归纳：根据三角形的三边关系来判断已知的三条线段能否组成三角形，只需看较小的两 边之和是否大于第三边即可。 - 4 -
例说三角形三边关系的几种典型运用
