2024 年考研数学二真题解析
一、选择题 1．当 x
1— 8 小题．每小题 4 分，共 32 分．
0 时，若 x tan x 与 xk 是同阶无穷小，则 k
（ ）
（ A ） 1
（ B ） 2
（C） 3
（D ） 4
【答案 】（ C） 【详解 】当 x
0 时， tan x x 1 x3 o(x3 ) ，所以 x
tan x
3 2
1 x3 o( x3 ) ，所以 k 3 ． 3
2．曲线 y
x sin x 2cos x (
x 3 ) 的拐点是（
2
, 2)
）
（ A ） (0, 2)
（B ） (
（ C） (
, 2 2
)
（ D） ( ,
3
2
3 )
2
【答案 】（ D） 【详解 】 y 令 y
x sin x 2cos x ， y
x cos x sin x ， y
，且 f
x sin x ， y
sin x x cos x ；
x sin x 0 得 x1 0, x2
(0)
( ) 0 ，所以 ( , 2) 是曲线的拐点；
而对于点 (0,0) ，由于 f 3．下列反常积分发散的是
0
0 ，而 f (4) (0) 0，所以不是曲线的拐点．
x 2
（ ）
x
（ A）
xe dx
（B ）
0
xe dx
(C）
arctan x
2 dx
01 x
x
0
2
（ D）
dx
1 x
【答案 】（ D）
【详解 】（ 1）当 x
时， f (x)
x 1 x
2
是关于
1
x
的一阶无穷小，当然
0
x dx 发散；
2
（ 2）用定义：
0
x
1 x
2 dx 1 ln( x2 1)|0
，当然
0
x 2 dx 发散．
1
x 2
1 x
4．已知微分方程
y
ay by cex 的通解为 y (C1 C2 x)e x
（ B） 1,0, 2 (C） 2,1,3
ex ，则 a, b, c 依次为（
）
（ A） 1,0,1
【答案 】（ D）
（ D） 2,1,4
【详解 】（ 1）由非齐次线性方程的通解可看出
r1 r2
1 是特征方程 r 2
ar b 0 的实根，从而确定
a 2, b 1；
（ 2）显然， y*
ex 是非齐次方程的特解，代入原方程确定
} ， 记 I1 2
1
D
c 4 ．
x2
5 ． 已 知 平 面 区 域 D {( x, y) | x y
y2 dxdy ， I 2
D
sin x2
y 2 dxdy ，
I 3
D
(1 cos x2
y2 )dxdy ，则
（
）
（A ） I3 I 2 I1
（ B ） I 2
I 1
I 3
（C） I1 I 2 I 3
2
（ D） I 2
I 3 I 1
【答案 】（ A ）
【 详 解 】（ 1 ） 显 然 在 区 域 D 0
x2
y2
2
， 此 时 由 结 论 当 x
0 时 x sin x 知 道
sin x2
（ 2）当 x
y2 x2 y2 ，所以 I 1 I 2 ；
0 时，令 f ( x) 1 cos x
0 得到在 (0,
) 唯一驻点 x 2
0 ，在 x
4
sin x ，则 f (x)
，且 f
sin x cos x ， f (x) sin x cos x ；
sin x 在 x
令 f ( x)
0 ，也就是 f ( x) 1 cos x
4
取得
4
0, x
4
极小值 f
同时取得在 [0, ] 上的最大值 f (0) f ( ) 0 ，也就有了结论，当
2
2
2
x (0, ) 时， 1
2
cosx
sin x ，也就得到了 I 3 I 2 ；
由（ 1）、（ 2）可得到 I 3 I 2 I1 ．
6 ．设函数 f ( x), g( x) 的二阶导函数在
x
a 处连续，则 lim
f ( x) g( x)
2
0 是两条曲线 y
f ( x) ，
x a
( x
a)
y g(x) 在 x a 对应的点处相切及曲率相等的
（ B）充分必要条件
（ ）
（ A ）充分不必要条件 【答案 】（ A ）
（C ）必要不充分条件
（ D）既不充分也不必要条件
【详解】充分性： （ 1）当 lim f ( x) g(x)2
0 进，由洛必达法则，
x a
( x a)
0 lim
x a
f (x) g( x)
1
lim
f ( x) g ( x)
1 2
( f (a)
g (a))
f (a) g ( a)
也就是两条曲线在 （ 2） 0 lim f (x)
x a
x
( x a)2 2 x a
a 对应的点处相切； g( x)
x a
1
lim f ( x) g ( x)
1
2
( f ( a) g ( a))
f
(a) g (a)
由曲率公式 k
(x a)2
y
22 x a
x a
x
(1 y ) 3可知两条曲线在
a 对应的点处曲率相等．
必要性不正确的原因在于，虽然相切能得到
f (a) g ( a) ，但在相切前提下，曲率相等，只能得到
2
f ( a)
g (a) ，不能确定 f (a)
g (a) ，当然得不到
f ( x) g ( x)
lim (x a) 2 x a
0 ．
7． 设 A 是四阶矩阵， A* 为其伴随矩阵，若线性方程组 （
Ax 0 的基础解系中只有两个向量，则
r (A*)
）
（ A） 0
（ B ） 1
（ C） 2
（ D） 3
【答案 】（ A ） 【详解】线性方程组 所以 r ( A*)
Ax 0 基础解系中只有两个向量，也就是
4 r ( A)
2 r ( A)
2 n 1 3 ，
0 ．
8．设 A 是三阶实对称矩阵， 是
E 是三阶单位矩阵，若 A2
A 2E ，且 A
4 ，则二次型 xT Ax 的规范形
（
）
（ A ） y12 y22 y32 【答案 】（ C） 【详解】假设
（ B ） y12
y22 y32 （ C） y12 y22 y32
（ D） y12
y22 y32
是矩阵 A 的特征值，由条件
A2 A 2E 可得
1
2
2 0，也就是矩阵 A特征值只可
3
能是 1和 2 ．而 A 规范型为 y12
1 2 3
4 ，所以三个特征值只能是
1,
2
2 ，根据惯性定理，二次型的
y22 y32 ．
二、填空题（本题共
x 0
6 小题，每小题 4 分，满分 24 分 . 把答案填在题中横线上）
2
9． lim x
2
x x
．
【 答案 】 4e2
2 x
2
解： lim x 2
x 0
x
lim 1 x 2
x 0
x
1 x
e
2( x 2 1) lim
x x 0
x
e
2(1 ln2)
2
4e
10．曲线
x t sin t
在 t
3 2
对应点处的切线在
y 的截距为
．
y 1 cost
3 2
【答案 】 2
【详解 】 sin t , |
dx 1 cost dx t
dydy
3 2
1 ，所以切线方程为 y 1 (x
3 2
1)
x
3 2 ，在 y 的截距为 2
2
3 2
．
11.设函数 f (u) 可导， z yf
y ，则 2x y x x y
2
3
z
z
.
【答案 】 2 x zy z x y
yf
y2 x ,
z y
f
【详解 】
z x
y3 x
2
f
y2 x
x
y 2 x
2y 2 x
f
y2 x
， 2x
z x
y
z y
yf
y2 x
．
12．曲线 y ln cos x (0 ) 的弧长为 6
．
【答案 】 ln 3
1
2
【详解 】 ds
1 y 2 dx
1 tan 2 xdx
secxdx
s
6
0
secxdx ln(sec x
6
tan x) | 0
1 ln 3.
2
x13．已知函数 f ( x)
x
sin t 2
dt ，则
1
f ( x)dx
．
1
t
0
【答案 】 (cos1 1) ．
1
1 0
1
2
4
1 0
【详解 】（ 1）用定积分的分部积分：
f ( x)dx
1
xf (x) |0
1
xf
( x)dx
( x
x sint
2 dt)dx
xsin xdx
0 1
1
1
(
t x sin t 2
0 2
1 0
dt) dx
2 x sin x dx
2
1
2 0 1 t 1 2 x sin t 2 1 x dt |0 2 1 t
2
1 2
1 0
x sin x
dx
1
1
1 0
2
x sin x
dx
1 cosx2 |10 1 (cos1 1)
4 4
1 2
（ 2）转换为二重积分：
1
1
f ( x)dx
1
x x
sin tt
1
2 3 0
2dt dx
xdx
x
sin t
2
dt
sin tt
2dt xdx
0
t
1 2 0
t sin t
dt
0 0 1 0
t
0
1
(cos1 1) 4
14．已知矩阵 A
1 1 2 0
0 1 2 3
0 1 1 4
， Aij 表示元素 aij 的代数余子式，则
A
11
A
12
．
【答案 】 4
1 1
0
0 1 4
【详解 】 A11
A
12
A11
A
12
2 1 3 2
1 2 3
0A13 0A14
1
4 ．
0 0
4
三、解答题
15．（本题满分 10 分）已知函数 f (x)
x2x
xex
，求 f (x) ，并求函数 f (x) 的极值． , x
1, x 0
0
【详解 】当 x 当 x
0 时， f (x)
x2 x
e2 xln x ， f
( x) 2x2 x(ln x 1) ；
0 时， f ( x) xex 1 ， f ( x) 0 处， f (0)
( x 1)ex ；
在 x
lim
x 0
f (x)
f (0)
lim
x 0
x2 x
1
lim
x
2x2x (ln x 1)
，所以 f (x) 在 x 0
处不
x
x
0
1
可导．
综合上述： f (x)
2x2 x (ln x 1), x
0 0
；
( x 1)ex ,
1, x2
x
．
令 f ( x)
0 得到 x1
1 e
当 x
1时， f ( x) 0 ，当 1 x 0 时， f ( x) 0 ，当 0 x
1
时， f ( x)
0 ，当 x
1 e
时， f ( x)
0 ；
e
故 x1
1 是函数的极小值点，极小值为 1 e
f ( 1) 1 1 f ( )
e
2
e 1 ； x 0 是函数的极大值点，极大值为
f (0) 1 ；
x2
是函数的极小值点，极小值为
e e ．
16．（本题满分 10 分）求不定积分
3x 6
dx ．
( x 1)2 (x2 x 1)
【详解 】
3x 6
dx
x 1)
2
3 2x 1 x2
x 1
dx
2ln x
1
3 x 1
d ( x2 x2
x 1)
( x 1)2 ( x2
x 1 ( x 1)2
x 1
2ln x 1
3 ln( x2 x 1
x 1) C
x
2
17．（本题满分 10 分）设函数 y( x) 是微分方程 yxy
1
2 x
e 2 满足条件 y(1)
e 的特解．
（ 1）求 y(x) 的表达式； （ 2）设平面区域 D
{( x, y) |1
x 2,0 y y( x)} ，求 D 绕 x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积．
【详解 】（ 1）这是一个一阶线性非齐次微分方程．
x
2
先求解对应的线性齐次方程
y xy 0 的通解： y
Ce 2 ，其中 C 为任意常数；
5
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