&知识就是力量&
4
[自主解答] (1)依题意知，第三组的频率为＝0.2，
2＋3＋4＋6＋4＋1又因为第三组的频数为12， 故本次活动的参评作品有
12
＝60件． 0.2
(2)根据频率分布直方图，可以看出第四组上交的作品数量最多，共有60×6
＝18件．
2＋3＋4＋6＋4＋1
105
(3)第四组的获奖率是＝.
189
1
因为第六组上交的作品数量为60×＝3，
2＋3＋4＋6＋4＋12
所以第六组的获奖率为. 3
25
而>，显然第六组的获奖率较高． 39
[悟一法]
频率分布直方图的性质：
(1)因为小矩形的面积＝组距×频率/组距＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率．这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小．
(2)在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1. (3)频数/相应的频率＝样本容量．
[通一类]
2．(2011·湖北高考)有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图，估计样本数据落在区间[10,12)内的频数为( )
&知识就是力量&
A．18 C．54
B．36 D．72
解析：样本数据落在区间[10,12)内的频率为1－(0.02×2＋0.05×2＋0.15×2＋0.19×2)＝0.18，所以样本数据落在区间[10,12)内的频数为0.18×200＝36.
答案：B
3．为提高公众对健康的自我管理能力和科学认识，某调查机构共调查了200人在一天中的睡眠时间．现将数据整理分组，如下表所示．由于操作不慎，表中A，B，C，D四处数据污损，统计员只记得A处的数据比C处的数据大4，由此可知B处的数据为________.
分组(睡眠时间) [4,5) [5,6) [6,7) [7,8) [8,9) [9,10] 合计
解析：设A处的数据为x，则C处的数据为x－4，则 x＋x－4＋8＋52＋20＋4＝200， 解得x＝60，
频数 8 52 A C 20 4 200 频率 0.04 0.26 B D 0.10 0.02 1 &知识就是力量&
60
则B处数据为＝0.30.
200答案：0.30
[研一题]
[例3] 为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换，已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下表：
天数 灯管数 (1)试估计这种日光灯的平均使用寿命； (2)若定期更换，可选择多长时间统一更换合适？
[自主解答] (1)各组中值分别是165.5,195.5，225.5，255.5,285.5,315.5,345.5,375.5，由此可算得平均数约为165.5×1%＋195.5×11%＋225.5×18%＋255.5×20%＋285.5×25%＋315.5×16%＋345.5×7%＋375.5×2%＝268.4≈268(天)．
(2)将各组中值对(1)问中的平均数求方差：
12222
×[1×(165.5－268.4)＋11×(195.5－268.4)＋18×(225.5－268.4)＋20×(255.5－268.4)＋100
25×(285.5－268.4)＋16×(315.5－268.4)＋7×(345.5－268.4)＋2×(375.5－268.4)]＝2 128.59.
故标准差为2 128.59≈46(天)．
答：估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天，标准差约为46天，故可在222到314天左右统一更换较合适．
[悟一法]
1．样本的标准差和方差描述了总体数据围绕平均数波动的大小程度，样本的标准差、方差越大，总体数据估计越分散；样本的标准差、方差越小，总体数据估计越集中．特别是当样本的标准差和方差都为0时，则表明总体数据估计没有波动，估计数据全相等．
2．样本的平均数和方差是两个重要的数字特征．在应用平均数和方差解决实际问题时，若平均数不同，则直接应用平均数比较优劣，若平均数相同，则要由方差研究其与平均数的偏离程度．
2
2
2
2
151～180 1 181～210 11 211～240 18 241～270 20 271～300 25 301～330 16 331～360 7 361～390 2 &知识就是力量&
[通一类]
4．两台机床同时生产直径(单位：cm)为10的圆形截面零件，为了检验产品质量，质量检验员从两台机床的产品中各抽出4件进行测量，结果如下：
机床甲 机床乙
如果你是质量检验员，在收集到上述数据后，你将通过怎样的运算来判断哪台机床生产的零件质量更符合要求？
解：(1)先计算平均直径：
1
x甲＝×(10＋9.8＋10＋10.2)＝10，
41
x乙＝×(10.1＋10＋9.9＋10)＝10.
4
由于x甲＝x乙，因此仅由平均直径不能反映两台机床生产的零件的质量优劣． (2)再计算方差：
12222
s＝×[(10－10)＋(9.8－10)＋(10－10)＋(10.2－10)]＝0.02，
4
2甲
10 10.1 9.8 10 10 9.9 10.2 10 122222
s乙＝×[(10.1－10)＋(10－10)＋(9.9－10)＋(10－10)]＝0.005.
4
s甲>s乙，这说明乙机床生产出的零件直径波动小，因此从产品质量稳定性的角度考虑，乙机床生产的零件质量更符合要求.
中小学生的视力状况受到全社会的广泛关注，某市有关部门从全市6万名高一新生中随机抽取了400名学生，对他们的视力状况进行一次调查统计，将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如图，从左至右五个小组的频率之比依次是5∶7∶12∶10∶6.则全市高一新生视力在[3.95,4.25]范围内的学生约有多少人？
2
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&知识就是力量&
[错解] 因为第五小组的频率是0.5， 55
所以第一小组的频率为0.5×＝. 612
5
所以全市6万名高一新生中视力在[3.95,4.25]范围内的学生约有60 000×＝25 000人．
12[错因] 错误原因在于对频率分布直方图理解不正确，图中标注的0.5并不是第五组的频率，0.5×0.3＝0.15才是频率．
[正解] 因为第五小组的频率是0.5×0.3＝0.15， 5
所以第一小组的频率是0.15×＝0.125，
6
∴全市6万名高一新生中视力在[3.95,4.25]范围内的学生约有60 000×0.125＝7 500人．
2020-2021学年北师大版高中数学必修三《用样本估计整体》同步课堂精讲及解析
