第三节 直线、平面平行的判定及其性质
[最新考纲] 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题．
1．直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行?线面平行”) 一条直线与一个平面平行，则过这条性质定理 直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行?线线平行”) 2.平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 图形语言 符号语言 判定定理 l?α?a?α??l∥a?l∥α a∥α?a?β?α∩β＝b??a∥b 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行?面面平行”) a?αb?α??a∥β?b∥β?a∩b＝P??α∥β 1
性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 α∥β?α∩γ＝a??β∩γ＝b?a∥b [常用结论] 平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β. (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b. (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．
( )
(2)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
( )
(3)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．
( )
(4)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α. ( ) [答案](1)× (2)× (3)√ (4)× 二、教材改编
1．已知直线a与直线b平行，直线a与平面α平行，则直线b与平面α的关系为( )
A．平行 B．相交
C．直线b在平面α内 D．平行或直线b在平面α内
D [依题意，直线a必与平面α内的某直线平行，又a∥b，因此直线b与平面α的位置关系是平行或直线b在平面α内．]
2．下列命题中正确的是( )
A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面
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B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行 C．平行于同一条直线的两个平面平行
D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b?α，则b∥α
D [A错误，a可能在经过b的平面内；B错误，a与α内的直线平行或异面；C错误，两个平面可能相交．]
3．平面α∥平面β的一个充分条件是( ) A．存在一条直线a，a∥α，a∥β B．存在一条直线a，a?α，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α D．存在两条异面直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α
D [若α∩β＝l，a∥l，a?α，a?β，则a∥α，a∥β，故排除A；若α∩β＝l，a?α，a∥l，则a∥β，故排除B；若α∩β＝l，a?α，a∥l，b?β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C；故选D.]
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为 ．
平行 [如图所示，连接BD交AC于F，连接EF，则EF是△BDD1的中位线，
∴EF∥BD1， 又EF?平面ACE， BD1?平面ACE， ∴BD1∥平面ACE.]
考点1 与线、面平行相关命题的判定
判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个
定义、定理，无论是单项选择还是含有选择项的填空题，都可以从中先选出最熟
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悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项．
β为两个平面， 1.(2019·全国卷Ⅱ)设α，则α∥β的充要条件是( ) A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行 C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面
B [由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是α∥β的充分条件，由面面平行性质定理知，若α∥β，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是α∥β的必要条件，故选B.]
2．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )
A [A项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB. ∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD与平面MNQ相交， ∴直线AB与平面MNQ相交．
B项，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ， ∴AB∥MQ.
又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.
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C项，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ， ∴AB∥MQ.
又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ. D项，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ， ∴AB∥NQ.
又AB?平面MNQ，NQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.故选A.]
解答此类问题时，特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否
有特殊情况，可通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．
考点2 直线与平面平行的判定与性质 直线与平面平行的判定 证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点)．
(2)利用线面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)． (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a?α?a∥β)． (4)利用面面平行的性质(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．
AB⊥ [一题多解]如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，
平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点．
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高考数学复习《直线、平面平行的判定及其性质》讲解及练习
