高等代数北大版教案-第6章线性空间
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第六章 线性空间
§1 集合映射
一 授课内容:§1 集合映射
二 教学目的:通过本节的学习,掌握集合映射的有关定义、运算,求和
号与乘积号的定义.
三 教学重点:集合映射的有关定义. 四 教学难点:集合映射的有关定义. 五 教学过程:
1.集合的运算,集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念 定义:(集合的交、并、差) 设S是集合,A与B的公共元素所组成的集合成为A与B的交集,记作A?B；把A和B中的元素合并在一起组成的集合成为A与B的并集,记做A?B；从集合A中去掉属于B的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A与B的差集,记做A\\B.
定义:(集合的映射) 设A、B为集合.如果存在法则f,使得A中任意元素a在法则f下对应B中唯一确定的元素(记做f(a)),则称f是A到
B的一个映射,记为
f:A?B,a?f(a).
如果f(a)?b?B,则b称为a在f下的像,a称为b在f下的原像.A的所有元素在f下的像构成的B的子集称为A在f下的像,记做f(A),即
f(A)??f(a)|a?A?.
若?a?a'?A,都有f(a)?f(a'), 则称f为单射.若 ?b?B,都存在
a?A,使得f(a)?b,则称f为满射.如果f既是单射又是满射,则称f为双射,或称一一对应.
2.求和号与求积号 (1)求和号与乘积号的定义
为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号. 设给定某个数域K上n个数a1,a2,?,an,我们使用如下记号:
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a1?a2???an??ai, a1a2?an??ai.
i?1i?1nn当然也可以写成
a1?a2???an?1?i?n?ai, a1a2?an?1?i?n?ai.
(2)求和号的性质 容易证明,
??ai???ai,?(ai?bi)??ai??bi,??aij???aij.
i?1i?1i?1i?1i?1nnnnnnmmni?1j?1j?1i?1事实上,最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状:
a11a21?an1a12a22????a1ma2m?anm
an2?分别先按行和列求和,再求总和即可.
§2 线性空间的定义与简单性质
一 授课内容：§2 线性空间的定义与简单性质
二 教学目的：通过本节的学习,掌握线性空间的定义与简单性质. 三 教学重点：线性空间的定义与简单性质. 四 教学难点：线性空间的定义与简单性质. 五 教学过程：
1.线性空间的定义
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(1)定义4.1(线性空间) 设V是一个非空集合,且V上有一个二元运算“+”(V?V?V),又设K为数域,V中的元素与K中的元素有运算数量乘法“?”(K?V?V),且“+”与“?”满足如下性质: 1、加法交换律 ??,??V,有???????；
2、加法结合律 ??,?,??V,有(???)?????(???)； 3、存在“零元”,即存在0?V,使得???V,0????； 4、存在负元,即???V,存在??V,使得????0； 5、“1律” 1????；
6、数乘结合律 ?k,l?K,??V,都有(kl)??k(l?)?l(k?)； 7、分配律 ?k,l?K,??V,都有(k?l)??k??l?； 8、分配律 ?k?K,?,??V,都有k(???)?k??k?,
则称V为K上的一个线性空间,我们把线性空间中的元素称为向量.注意:线性空间依赖于“+”和“?”的定义,不光与集合V有关.
(2)零向量和负向量的唯一性,向量减法的定义,线性空间的加法和数乘运算与通常数的加、乘法类似的性质
命题4.1 零元素唯一,任意元素的负元素唯一.
证明:设0与0'均是零元素,则由零元素的性质,有0?0'?0?0'；
???V,设?,?'都是?的负向量,则
??0???(?'??)????'?(???)???0??,
于是命题得证.由于负向量唯一,我们用??代表?的负向量.
定义4.2(减法) 我们定义二元运算减法“-”如下:
???定义为??(??).
命题4.2 线性空间中的加法和数乘满足如下性质:
1、 2、 3、
加法满足消去律 ???????????； 可移项 ???????????； 可以消因子 k???且k?0,则??1?； k收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
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4、 0???0, k?0?0, (?1)????.
(3)线性空间的例子
例4.1令V表示在(a,b)上可微的函数所构成的集合,令K??,V中加法的定义就是函数的加法,关于K的数乘就是实数遇函数的乘法,V构成K上的线性空间.
4.1.2线性空间中线性组合和线性表出的定义,向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价表述,向量组的秩,向量组的线性等价；极大线性无关组.
定义4.3(线性组合) 给定V内一个向量组?1,?2,L,?s,又给定数域K内s个数k1,k2,L,ks,称k1?1?k2?2?L?ks?s为向量组?1,?2,L,?s的一个线性组合.
定义4.4(线性表出) 给定V内一个向量组?1,?2,L,?s,设?是V内的一个向量,如果存在K内s个数k1,k2,L,ks,使得??k1?1?k2?2?L?ks?s,则称向量?可以被向量组?1,?2,L,?s线性表出.
定义4.5(向量组的线性相关与线性无关) 给定V内一个向量组
?1,?2,L,?s,如果对V内某一个向量?,存在数域K内不全为零的数
k1,k2,L,ks,使得k1?1?k2?2?L?ks?s?0,则称向量组?1,?2,L,?s线性相
关；若由方程k1?1?k2?2?L?ks?s?0必定推出k1?k2?L?ks?0,则称向量组?1,?2,L,?s线性无关.
命题4.3 设?1,?2,L?s?V,则下述两条等价: 1)?1,?2,L?s线性相关； 2)某个?i可被其余向量线性表示. 证明同向量空间.
定义4.6(线性等价) 给定V内两个向量组
?1,?2,L,?r (Ⅰ), ?1,?2,L,?s (Ⅱ),
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