2024新高考版大一轮复习用书数学第三章 3.3

§3.3　导数与函数的极值、最值

1．函数的极值与导数

f′(x0)＝0

条件

x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0

x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0

图象

极值极值点

f (x0)为极大值x0为极大值点

f (x0)为极小值x0为极小值点

2.函数的最值

(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f (x)在[a，b]上必有最大值与最小值．

(2)若函数f (x)在[a，b]上单调递增，则f (a)为函数的最小值，f (b)为函数的最大值；若函数f (x)在[a，b]上单调递减，则f (a)为函数的最大值，f (b)为函数的最小值．概念方法微思考

1．对于可导函数f (x)，“f′(x0)＝0”是“函数f (x)在x＝x0处有极值”的________条件．(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”)提示　必要不充分

2．函数的最大值一定是函数的极大值吗？

提醒　不一定，函数的最值可能在极值点或端点处取到．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的极大值不一定比极小值大．(　√　)(2)函数的极小值一定是函数的最小值．(　×　)(3)开区间上的单调连续函数无最值．(　√　)

题组二　教材改编

2．函数f (x)＝2x－xln x的极值是(　　)2

A. B. C．e D．e2

ee答案　C

解析　因为f′(x)＝2－(ln x＋1)＝1－ln x，当f′(x)>0时，解得0e，所以x＝e时，f (x)取到极大值，f (x)极大值＝f (e)＝e.故选C.3．当x>0时，ln x，x，ex的大小关系是________．答案　ln x

1

解析　构造函数f (x)＝ln x－x，则f′(x)＝－1，可得x＝1为函数f (x)在(0，＋∞)上唯一的

x极大值点，也是最大值点，故f (x)≤f (1)＝－1<0，所以ln x

2

答案　

27a3

1

a

解析　容积V＝(a－2x)2x,0

2aaa

V′＝0得x＝或x＝(舍去)，则x＝为V在定义域内唯一的极大值点也是最大值点，此时

626

2

Vmax＝

27a3.

题组三　易错自纠

5．(多选)函数y＝f (x)的导函数f′(x)的图象如图所示，以下命题错误的是(　　)

A．－3是函数y＝f (x)的极值点B．－1是函数y＝f (x)的最小值点C．y＝f (x)在区间(－3,1)上单调递增D．y＝f (x)在x＝0处切线的斜率小于零答案　BD

解析　根据导函数的图象可知当x∈(－∞，－3)时，f′(x)<0，当x∈(－3，＋∞)时，f′(x)≥0，

∴函数y＝f (x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，＋∞)上单调递增，则－3是函数y＝f (x)的极值点，

∵函数y＝f (x)在(－3，＋∞)上单调递增，∴－1不是函数y＝f (x)的最小值点，∵函数y＝f (x)在x＝0处的导数大于0，∴y＝f (x)在x＝0处切线的斜率大于零．故错误的命题为BD.

1

6．若函数f (x)＝x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，m＝________.

3答案　4

解析　f′(x)＝x2－4，x∈[0,3]，当x∈[0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2,3]时，f′(x)>0，所以f (x)在[0,2)上是减函数，在(2,3]上是增函数．又f (0)＝m，f (3)＝－3＋m.所以在[0,3]上，f (x)max＝f (0)＝4，所以m＝4.

1

7．已知函数f (x)＝x3＋x2－2ax＋1，若函数f (x)在(1,2)上有极值，则实数a的取值范围为

3________．答案　，4

2

解析　f′(x)＝x2＋2x－2a的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x＝－1，则f′(x)在(1,2)

3

上是单调递增函数，因此Error!解得

22

()3

()3

用导数求解函数极值问题

命题点1　根据函数图象判断极值

例1　设函数f (x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)

A．函数f (x)有极大值f (2)和极小值f (1)B．函数f (x)有极大值f (－2)和极小值f (1)C．函数f (x)有极大值f (2)和极小值f (－2)D．函数f (x)有极大值f (－2)和极小值f (2)

答案　D

解析　由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－22时，f′(x)>0.

由此可以得到函数f (x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．

命题点2　求已知函数的极值

例2　已知函数f (x)＝x2－1－2aln x(a≠0)，求函数f (x)的极值．解　因为f (x)＝x2－1－2aln x(x>0)，2a2?x2－a?

所以f′(x)＝2x－＝.xx

①当a<0时，因为x>0，且x2－a>0，所以f′(x)>0对x>0恒成立．所以f (x)在(0，＋∞)上单调递增，f (x)无极值．

②当a>0时，令f′(x)＝0，解得x1＝a，x2＝－a(舍去)．所以当x变化时，f′(x)，f (x)的变化情况如下表：

xf′(x)f (x)

(0，a)－↘

a0极小值

(a，＋∞)

＋↗

所以当x＝a时，f (x)取得极小值，且f (a)＝(a)2－1－2aln a＝a－1－aln a．无极大值．

综上，当a<0时，函数f (x)在(0，＋∞)上无极值．

当a>0时，函数f (x)在x＝a处取得极小值a－1－aln a，无极大值．命题点3　已知极值点求参数

例3　(1)(2024·江西八校联考)若函数f (x)＝x2－x＋aln x在(1，＋∞)上有极值点，则实数a的取值范围为________．

(2)若函数f (x)的导数f′(x)＝x－则k＝______.

答案　(1)(－∞，－1)　(2)1

解析　(1)函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，

()2

5

(x－k)k，k≥1，k∈Z，已知x＝k是函数f (x)的极大值点，

a2x2－x＋a

f′(x)＝2x－1＋＝，

xx

由题意知2x2－x＋a＝0在R上有两个不同的实数解，且在(1，＋∞)上有解，所以Δ＝1－8a>0，且2×12－1＋a<0，所以a∈(－∞，－1)．

(2)因为函数的导数为f′(x)＝x－

所以若k是偶数，则x＝k不是极值点，则k是奇数，55

若k<，由f′(x)>0，解得x>或x

22

5

由f′(x)<0，解得k

2

即当x＝k时，函数f (x)取得极大值．因为k≥1，k∈Z，所以k＝1，55若k>，由f′(x)>0，解得x>k或x<；

225

由f′(x)<0，解得

2

即当x＝k时，函数f (x)取得极小值不满足条件．思维升华 函数极值的两类热点问题(1)求函数f (x)极值的一般解题步骤①确定函数的定义域．②求导数f′(x)．

③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根．④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号．(2)根据函数极值情况求参数的两个要领

①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．②验证：求解后验证根的合理性．

跟踪训练1　(1)(2024·河北冀州中学模拟)已知函数f (x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f (x)在x＝a处取得极大值，则a的取值范围是________．答案　(－1,0)

解析　若a＝0，则f′(x)＝0，函数f (x)不存在极值；若a＝－1，则f′(x)＝－(x＋1)2≤0，函数f (x)不存在极值；若a>0，当x∈(－1，a)时，f′(x)<0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数f (x)在x＝a处取得极小值；若－10，当x∈(a，＋

()2

5

(x－k)k，k≥1，k∈Z，