人教版高中数学选修1-1教学设计
2.3.1抛物线及其标准方程
教学目标：
1、 知识目标：理解抛物线的定义；明确焦点、准线的概念；了解用抛物线的定义推导
开口向右的抛物线的标准方程的推导过程进一步得出开口向左、向上、向下的抛物线的标准方程，并熟练掌握抛物线的四种标准方程及其所对应的开口方向、焦点坐标、准线方程之间的关系；
2、 能力目标：让学生感知数学知识与实际生活的普遍联系，培养学生类比、数形结合
的数学思想方法，提高学生的学习能力，同时培养学生运动、变化的辨证唯物主义观点；
3、 情感目标：培养学生不怕困难、勇于探索的优良作风，增强学生审美体验，提高学
生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，形成学习数学知识的积极态度.
教学重点和难点：
重点：抛物线的定义；根据具体条件求出抛物线的标准方程；根据抛物线的标准方程
求出焦点坐标、准线方程.
难点：抛物线的标准方程的推导. 教学方法
启发、探索 教学手段
运用多媒体和实物辅助教学 教学过程： 一、新课引入：
1、实例引入：观察生活中的几个实例（1）圆柱截面图；（2）卫星接收天线（观察其轴截面）；（3）太阳灶（观察其轴截面）；（4）探照灯（观察其轴截面）；（5）投球时球的运行轨迹（播放动画演示其轨迹） 2、复习引入：
当01时是什么图形？（双曲线）
当?? = 1时它又是什么图形呢？（让学生大胆猜想，猜想后用几何画板演示动画，让学生认真观察动点所满足的条件，让学生对抛物线由感性认识上升到理性认识）
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教师指出：画出的曲线叫抛物线. 二、新课讲授：
（一） 定义：（提问学生，由学生归纳出抛物线定义）
平面内与一定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线.
概念理解：
平面内有—— (1) 一定点F——焦点
(2) 一条不过此点（给出的定点）的定直线l ——准线 探究：若定点F在定直线l上，那么动点的轨迹是什么图形？ （是过F点与直线l垂直的一条直线——直线????，不是抛物线） (3) 动点到定点的距离|????| (4) 动点到定直线的距离?? (5) | ????| = ??
满足以上条件的动点M的轨迹——抛物线 （二）推导抛物线的标准方程（开口向右）（重点）：
１、要把抛物线上的点Ｍ的集合??={??| |????|=??}表示为集合Ｑ＝{(??,??)|??(??,??)=0}.首先要建立坐标系，为了使推导出的方程尽量简化，应如何选择坐标系？ ［教师引导］建立适当的直角坐标系应遵循的两点原则：
①若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴； ②曲线上的特殊点，可选作坐标系的原点.］
过焦点F作准线l的垂线交l于点K，启发学生思考回答问题： （1）如何确定x轴（或y轴）？
（以对称轴为坐标轴）
由抛物线的几何特征知KF是抛物线的对称轴. （2）如何确定坐标原点？
（曲线上的特殊点，可作为坐标系的原点）
因为线段KF的中点适合条件——到点F的距离等于到直线l的距离，所以它又在抛物线上——以线段KF的中点为坐标原点. （3）怎样建立坐标系才使方程的推导简化？
［教师引导］通过不同位置的二次函数[解析]式的对比，联想抛物线如何建系.
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让学生大胆发言，谈谈自己的观点（教师要积极鼓励学生引导学生） 取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l相交于点K，以线段ＫＦ的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系.
２、开口向右的抛物线标准方程的推导：（教师引导得出结论） 步骤:（投影展示）
过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与直线l相交于点K，以线段ＫＦ的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系.
设焦点到准线的距离｜ＫＦ｜= ??（??>0）那么，焦点Ｆ的坐标为 (2,0),准线l的方程为??= ?2.
设抛物线上的任一点Ｍ（??,??），点Ｍ到直线l的距离为d根据定义，抛物线就是点的集合
??={??| |????|=??}
因为|????|=√(???2)2+??2 ,??=|??+2|，所以
????
√(???)2+??2=|??+|
22将上式两边平方并化简，得
??2=2???? (??>0)（1）
方程（１）的推导过程表明，抛物线上的点的坐标都是这个方程式的解.还可以证明，以方程（１）的解为坐标的点都在此抛物线上.我们把方程??2=2???? (??>0)叫做抛物线的标准方程.
３、（引导分析）标准方程??2=2???? (??>0)的特点：（用代数方法——几何问题） p的几何意义：焦点到准线的距离 焦 点：(2,0)在x轴的正半轴上 准 线：??= ?2.
顶 点：坐标原点（０，０） 开口方向：向右
4、让同学们类比写出不同位置的抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程
??
??
??
??
??
??
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5、让学生对这抛物线和它们的标准方程进行对比分析，辨认异同： 相同点：
１、原点在抛物线上； ２、对称轴为坐标轴； ３、p值的意义：（重点）
（１）表示焦点到准线的距离； （２）??>0为常数;
（３）??值等于一次项系数绝对值的一半；
４、准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离等于一次项系数的绝对值的，即41
2??4
= 2
??
不同点：
方程 ??2=2???? (??>0) ??2=?2???? (??>0) ??2=2???? (??>0) ??2=?2???? (??>0)) 三、例题讲解：
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对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦点位置 x轴正半轴上 x轴负半轴上 y轴正半轴上 y轴负半轴上 人教版高中数学选修1-1教学设计
例1.(1)已知抛物线的标准方程是??2=6??,求它的焦点坐标和准线方程；
(2)已知抛物线的焦点是??(0,?2),求它的标准方程
（解题过程教师要板书，注意版面条理，简洁，做好起到示范作用）
解：（1）??＝3，所以抛物线的焦点坐标是(2，0)，准线方程是??＝－2．
（2）因为抛物线的焦点在轴的负半轴上,且=2,∴??=4，
2??
3
3
所以抛物线的标准方程是??2=?8??
例2．求分别满足下列条件的抛物线的标准方程：
（1）焦点坐标是??（－5，0） （2）经过点??（2，－3）
解：（1）焦点在x轴负半轴上，2=5，所以所求抛物线
的标准议程是??2=?20??．
（2）经过点A（2，－3）的抛物线可能有两种标准形式：??2=2????,??2=?2???? 点A（2，－3）坐标代入??2=2????,，即9＝4p，得2??＝2 点A（2，－3）坐标代入??2=?2????，即4＝6p，得2??=
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??
∴所求抛物线的标准方程是??2=??,x或??2=??? .
2
2
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四、课堂练习：
1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（投影展示） （1）焦点是F（3，0）； （2）准线方程是?? =?4； （3）焦点到准线的距离是2.
2、根据下列抛物线的焦点坐标和标准方程、准线方程：（投影展示） （1）??2=20?? (2??2=?? (3) 2??2+5??=0 (4) ??2+8??=0
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向学生指出，本题是求抛物线的标准方程，所求抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴
总结：要确定抛物线的标准方程，关键在于确定p值及抛物线开口方向；反之亦然.
五、课堂小结：（提学生归纳总结）
1．会运用抛物线的定义、标准方程求它的焦点坐标、准线方程；
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人教版高中数学优质教案1：2.3.1 抛物线及其标准方程 教学设计
